第十次作业

姚贵斌 201430102066

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摘要

1. 用数值计算验证了开普勒第三定律
2. 研究了当引力不遵守平方反比定律，而是稍稍偏离时，不同离心率的轨道的稳定性
3. 计算了水星轨道近日点的进动

背景

首先，由于是往复运动，模拟时应用欧勒-克罗默方法

单位制

采用国际单位制则数字过于庞大，故采用天文单位制：
长度单位改为AU , 1AU等于地球到太阳的平均距离
时间单位改为yr , 1yr等于一年，是地球公转周期
这样，若以$G$代引力常数，$M_S$代太阳质量，则

$$GM_S = 4\pi^2 AU^3/yr^2$$
这种单位制下，计算过程可以简化：
$v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{4\pi^2x_i}{r_i^3}\Delta t$
$x_{i+1}=x_i+v_{x,i+1}\Delta t$
$v_{y,i+1}=v_{y,i}-\frac{4\pi^2y_i}{r_i^3}\Delta t$
$y_{i+1}=y_i+v_{y,i+1}\Delta t$。
式中物理量均采用天文单位制，$r$指行星与太阳的距离。

正文

4.8 验证开普勒第三定律

代码

开普勒第三定律：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。即$\frac{a^3}{T^2}=Const.$

由地球轨道及所选单位制可知此常数为1.

几个不同的初始条件下的$\frac{a^3}{T^2}$值（所选条件均使得半长轴在x轴上）:

可见，比值均在0.999和1之间。这样就验证了了开普勒第三定律。

4.9引力“稍稍偏离”平方反比情况的研究

代码

万有引力表达式改写为：

$$F_G=\frac{GM_SM_E}{r^\beta}$$
$\beta=2$时即为平方反比率，而当$\beta\neq2（比如2.01）$时，行星的运动轨迹将不闭合（初始速度刚好满足圆周运动的条件的情况除外）。

$\beta=2$时，若不考虑太阳的运动，有
$-\frac{GM_SM}{r_1}+\frac{1}{2}Mv_1^2=-\frac{GM_SM}{r_2}+\frac{1}{2}Mv_2^2$
$v_1r_1=v_2r_2$
其中下标1表示远日点，下标2表示近日点。
故有$e=\frac{r_1-r_2}{r_1+r_2}$.得到近日点速度：

$$v_1=2\pi\sqrt{\frac{1-e}{r_1}}$$
其中已用到$GM_S=4\pi^2AU^3/yr^2$.

选取$\beta=2.01$,初始位置为$（1.0,0）$的不同离心率的轨道研究。

$e=0.1$时：

$e=0.4$时：

$e=0.75$时：

结论：在平方反比力场下离心率越小的运动，在非平方反比时“旋转”地越慢；原来离心率越大，在非离心下“旋转”越快。

再来看对不同的$\beta$，具体地说是看$\beta$相对2的大小对“旋转”的影响。
取$e=0.75$：

当$\beta=2.01，2.02（>2）$时，行星初始速度相对中心天体是逆时针的，而由图可见，“旋转”方向也是逆时针的；当$\beta=1.99，1.98(<2)$时，行星初始速度相对中心天体仍为逆时针，但总体旋转方向变为顺时针。$|\beta-2|$改变的只是旋转速度的大小，其值越大，旋转得越快。由旋转对称性可以得出：

结论：$\beta>2$时，轨道旋转的角速度方向将和行星绕中心天体旋转的角速度方向方向相同；$\beta<2$时，轨道旋转的角速度方向将和行星绕中心天体旋转的角速度相反。$|\beta-2|$越大，轨道旋转得越快。

参考资料

计算物理第二版