第十二次作业

场与势

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摘要

使用两种迭代方法对有上图所示边界条件的电势分布做了求解。
并就迭代次数与L的关系对两种方法做了比较。

背景

在一个不包含电荷的空间区域内，电势分布满足拉普拉斯方程:

$$\frac{\partial ^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2V}{\partial z^2}=0$$
对于偏微分方程，不能用前面的欧勒法求解，也没有普适的计算方法。
对电势与电场的问题我们可以用弛豫法(relaxation method)来处理。
首先，对于原本连续的$x,y,z$，使其“离散化”，分别每隔$\Delta x,\Delta y,\Delta z$取值，并分别用$i,j,k$区别。则有
$\frac{\partial V}{\partial x}\approx\frac{V(i+1,j,k)-V(i,j,k)}{\Delta x}$
同样有
$\frac{\partial V}{\partial x}\approx\frac{V(i,j,k)-V(i-1,j,k)}{\Delta x}$
即
$$\frac{\partial V}{\partial x}\approx\frac{V(i+1,j,k)-V(i-1,j,k)}{2\Delta x}$$
由类似的方法可得二阶偏微分表达：
$$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}\approx\frac{V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)-2V(i,j,k)}{(\Delta x)^2}$$
对二维情况可由二维拉普拉斯方程得到：
$$V(i,j)=\frac{1}{4}(V(i+1,j)+V(i-1,j)+V(i,j+1)+V(i,j-1))$$
以上式为根据进行迭代即可。迭代的方法有几种---

$SOR$法(Simultaneous over-relaxation method )：

$$V^*(i,j)=\frac{1}{4}(V_{old}(i+1,j)+V_{new}(i-1,j)+V_{old}(i,j+1)+V_{new}(i,j-1))$$
$$\Delta V(i,j)=V^*(i,j)-V_{old}(i,j)$$
$$V_{new}(i,j)=\alpha\Delta V(i,j)+V_{old}(i,j)$$
$\alpha$最好选择为 $$\alpha\approx\frac{2}{1+\frac{\pi}{L}}$$
高斯-赛德尔法(Gauss-Seidel ):
$$V_{new}(i,j)=\frac{1}{4}(V_{old}(i+1,j)+V_{new}(i-1,j)+V_{old}(i,j+1)+V_{new}(i,j-1))$$
雅可比法(Jacobi method):
$$V_{new}(i,j)=\frac{1}{4}(V_{old}(i+1,j)+V_{old}(i-1,j)+V_{old}(i,j+1)+V_{old}(i,j-1))$$

正文

雅可比方法

代码

等势线

3D图

电场分布（箭头方向表示场强方向，长度表示大小）

高斯-赛德尔法

代码

等势线

3D图

电场分布（箭头方向表示场强方向，长度表示大小）

两种方法得到的结果并不一致。用雅可比方法得到的结果，等势线比较平缓；而高斯-赛德尔法得到的结果，则好像是左右各有一条“合水线”和“分水线”。

对迭代方法的分析

代码

三种方法的N-L关系

SOR法

拟合函数$N=a*L$
拟合结果$a=1.53, R^2=0.995.$

雅可比方法

拟合函数$N=a*L^2$
拟合结果$a=0.285, R^2=0.983.$

可见雅可比方法的$N$与$L^2$成正比，而$SOR$法的$N$与$L$成正比。

参考

计算物理第二版
郭晓@guoxiaowhu、上官俊怡@JunyiShangguan