第十一次作业

姚贵斌 2014301020066

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摘要

用三体模型模拟并研究了土卫七的混沌运动运动

背景

大部分太阳系行星的卫星，都有确定的自转和公转周期，比如我们地球的卫星月球。月球绕地公转的周期等于其自转周期。

土卫七则是例外。
土卫七的质量只有其中心天体--土星的质量的$3\times10^{-8}$。有着高度不规则的、鸡蛋一般的形状，以及高轨道离心率（0.123）。其自转周期也在不断地、不规则地改变。

土卫七不规则的形状，被认为是造成其自转不规则的主要原因。（另一观点是轨道偏心率大而受土星和土卫六的引力在变化）

对土卫七的不均匀的鸡蛋形状，可以将其鸡蛋的“两头”等效为两个由刚性轻杆连接的的质点，位置分别在两个头的质心质量分别为$m_1,m_2$。对$m_1$，引力可写为

$$\vec{F}_1=-\frac{GM_{Sat}m_1}{r_1^3}(x_1\hat i+y_1\hat j)$$ 其中$M_{Sat}$为土星质量，$r_1$为质点1到土星的距离，$(x_1\hat i+y_1\hat j)$是质点1的位矢。设质心坐标为$(x_c,y_c)$,则$\vec{F}_1$的力矩为 $$\vec{\tau}_1=[(x_1-x_c)\hat i+(y_1-y_c)\hat j]\times\vec{F}_1$$
对质点2结果相似。由角动量定理， $$\frac{d\vec w}{dt}=\frac{\vec \tau_1+\vec \tau_2}{I}$$ 其中$I=m_1|r_1|^2+m_2|r_2|^2$为土卫七的转动惯量。可以解出 $$\frac{d\vec w}{dt}\approx -\frac{3GM_sat}{r_c^5} (x_csin\theta-y_ccos\theta)(x_c cos\theta+y_c sin\theta)$$ $r_c$是质心与土星之间的距离。
由此就可以运用欧勒-克罗默方法计算。

正文

代码

4.19

若轨道刚好为圆形，即偏心率$e=0$，则其自转呈周期性：

左图似乎对时间不呈周期性，这其实是在程序中进行了一个操作，每当$\theta$的范围超过$[-\pi,+\pi]$时,就增加或减去$2\pi$使其回到中$[-\pi,+\pi]$中。实际上$\theta$随时间是周期性增加的，或者说增加的量是周期性的。着从$\omega-t$图像中更容易看出。

因此，实际离心率为0.123，故实际的（不考虑其他影响）为：

当离心率进一步加大，以$e=0.406$为例:

此时混沌已很明显。

然后研究两个只是初始角度差一微小量对运动的影响（用$\Delta \theta$来度量）。取$\Delta \theta_0=0.05$

首先，对$e=0$:

$\omega-\theta$相空间:

$e=0.365$:

$\omega-\theta$相空间

$e=0.123$(实际)

$\omega-\theta$相空间

4.20

前面的计算中，每当$\theta$的范围超过$[-\pi,+\pi]$时,就增加或减去$2\pi$使其回到中$[-\pi,+\pi]$中。这可能是导致上图$e=0.365$中$\Delta \theta$有跃变（某些时刻甚至接近10rad）的原因。若在程序中去掉此操作，$sin\theta_i$的值不会改变，即轨道不会改变，而且$\Delta \theta$页不会有跃变。

由图可见，虽然“正向”的跃变消失，但“负向”的跃变仍然存在。从图中可见，这种跃变发生之前是有一定的趋势的。所以，这种突变可能是角度稍大的一方在某一时刻角速度变为零，或者说角度在后的一方向前转动的角速度大于角度在前的一方而“追上了”前者，使得$\Delta \theta$变得非常小。

参考

冉峰@rfhongyi
于飞@kwzkswjls
计算物理第二版