第十三次作业

弦的振动

姚贵斌 2014301020066

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摘要

6.13，研究了频谱与观测点$x_o$的关系

背景

此类运动的方程为

$$\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$$
其中$c^2=\frac{T}{\rho}$，$T$为弦上的张力，$\rho$为弦的线密度。将$x、t$离散化为$x=i\Delta x,t=n\Delta t$. 选定$\Delta x$与$\Delta t$后，$y$变为$i$与$n$的函数$y=y(i,n)\equiv y(x=i\Delta x,t=n\Delta t)$.
由振动方程可得
$$\frac{y(i,n+1)+y(i,n-1)-2y(i,n)}{(\Delta t)^2}\approx c^2[\frac{y(i+1,n)+y(i-1,n)-2y(i,n)}{(\Delta x)^2}]$$
可得
$$y(i,n+1)=2(1-r^2)y(i,n)-y(i,n-1)+r^2[y(i+1,n)+y(i-1,n)]$$
其中$c\equiv c\Delta t/\Delta x$.设置为1效果最佳。

正文

如果初始时刻弦上有一个高斯波包在显得中间位置，则在0.05L处观测到的信号(代码)

改变观测点的位置，信号也会随之改变：

前三个图（x=0.10,x=0.20,x=0.25）变化的主要是相邻“波峰”或“波谷”间的距离，而x=0.40处负波峰间还有一个“上凹”,即相邻两个波谷有重叠部分。
特殊的在激发点处：

波峰、波谷都有重叠。

再看频谱。代码

激发点为x=0.50L

在x=0.05处没有3000Hz的信号。而3000Hz的信号在x=0.05处正好是波节。
在x=0.10处，没有1500Hz, 3000Hz的信号，这些信号在此处同样是波节。
同样x=0.40处没有750Hz, 1500Hz, 2250Hz,3000Hz的信号，在x=0.50处没有频率奇数倍于基频的信号成分。

激发点为0.55L

此时所有频率为基频倍数的信号都能找到，尽管在某些点不出现。

激发点为1/4L

干差的四个点上都没有600Hz，1200Hz，1800Hz，2400Hz，3000Hz的信号。这些信号都满足：波长为1/4L或波长的整数倍为1/4L。

结论

若观测点为$\frac{L}{n}$,则该点处没有频率为$knf_0(k\in Z^+)$的信号，$f_0=2L/c$为基频。

若激发点为$\frac{L}{m}$，则整个弦上不会出现频率为$kmf_0(k\in Z^+)$的信号，$f_0=2L/c$为基频。

致谢

Computational Physics(Second Edition)
宗玥同学，吴雨桥学长