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@Jerusalem 2017-06-13T12:29:57.000000Z 字数 990 阅读 1886

我们假设读者有基本的代数知识,包括群、环的定义,循环群。

需要用到进一步代数知识的地方都做了标注并将这部分的证明放在附录。

我们总是假设以字母代表的数是素数。


假设是定值,记是模意义下不同的的数量。

首先,由中国剩余定理是积性的,于是只需要计算的情况。[1]下面假设

互素,注意到下是一个次方幂当且仅当是一个模下的次方幂。(对于当,设,则,在模下它就是,仅当是类似的。)

于是,其中指的是模下与互素的次方幂数量。这个和式来自于分不同的对形如次幂的统计。

问题归结于计算,对,熟知的乘法群是循环的,于是它同构于,计算中的次幂也就是计算的倍数,由此可以知道[2]。对,情况类似。

注意到,从而数列对前几项是长数列,对之后的项是等比数列,它的和不难求出。



[1] ,中国剩余定理断言(环同构),它们的乘法群也同构,从而上的次幂就是(精确到同构)上的k次幂之间的乘积。
[2] 考虑上的自同态,它的象就是那些被整除的数,于是这些数的个数就是,不难证明就是那些阶整除的元素的集合,熟知这样的元素的个数是
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