线性代数(C.Lay)期末复习总结

课程学习 线性代数 C.Lay线代 所有文稿

---

Markdown上瘾？决定来写一下就立刻有动力拿出书了……

---

第一章 线性方程组

*主要知识点

• 掌握行变换，阶梯形→简化阶梯形
• 掌握行化简算法解线性方程组
• 判断线性方程组的解的三种情况，存在和唯一性定理
• 掌握向量方程、线性组合、Span{}
• 掌握矩阵方针、向量方程、线性方程组的联系，理解定理4
• 掌握相容方程组解集表示为参数向量形式
• 掌握线性相关与线性无关
• 理解线性变换与标准矩阵

1.行化简和阶梯性矩阵

• 阶梯形（行阶梯形）性质之一：某一行的先导元素所在的列，位于前一行先导元素的右边；某一现代元素所在列的下方元素都是0。向前步骤产生。
• 化简阶梯形RREF：每一先导元素1是该（主元）列的唯一非零元素。向后步骤产生。
  

  通解形式为 $$x_1=1+5x_3$$ $$x_2=4-x_3$$ 其中，$x_1$和$x_2$为基本变量，$x_3$为自由变量

2.$Ax=b$

• $A(u+v)=Au+Av$

• 定理：$A$ 是$m*n$矩阵，各列为$a_1,\ldots,a_n$，$b$属于$\Bbb{R}^m$，则矩阵方程

  $$Ax=b$$ 向量方程 $$x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b$$ 增广矩阵为 $$[a_1\quad a_2 \ldots \ a_n \quad b]$$ 的线性方程组有相同的解集

3.定理4（总结）

设$A$ 是$m*n$ （系数）矩阵，下列命题逻辑上是等价的

a. $Ax=b$有解
b. $b$是$A$的各列的线性组合
c. $A$的各列生成$\Bbb{R}^m$（$Span\{v_1,\ldots,v_p\}=\Bbb{R}^m$）
d. $A$的每一行都有一个主元位置
e.
f.
g.
h.

4.线性方程组

• 相容：有一个或无穷多个解；不相容：无解
• 线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列
• 齐次：可以写成$Ax=0$的形式，至少有一个平凡解$x=0$
• 通解的向量形式

线性方程组的解

齐次线性方程组的解 $$x=x_2\begin{bmatrix}0 \\8\\2\end{bmatrix}$$ 其中，$x_2$为自由变量。可表示为参数向量形式$x=su+tv$（s,t为实数）
非齐次线性方程组的解
$$x=\begin{bmatrix}1 \\4 \\7\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}0 \\8 \\2\end{bmatrix}$$
其中，$x_2$为自由变量。可表示为参数向量形式$x=p+tv$（s,t为实数），即$Ax=b$的解可以由特解$p$（对应$t=0$）加上$Ax=0$的解得到，$Ax=b$的解集是一条通过$p$而平行于$Ax=0$的解集的直线

5.向量方程

线性相关与线性无关

若向量方程
$$x_1v_1+x_2v_2+\ldots+x_pv_p=0$$
仅有平凡解$x=\begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ \vdots \\0\end{bmatrix}=0$，则这组向量称为线性无关的，即$Ax=b$仅有平凡解.

若存在不全为$0$的权$c_1,\ldots,c_p$使
$$c_1v_1+c_2v_2+\ldots+c_pv_p=0$$
则这组向量称为线性相关的，该方程称为向量$v_1,\ldots,v_p$之间的线性相关关系.

定理（线性相关集的特征）

集合$S=\{v_1,\ldots,v_p\}$（$\Bbb{R}^n$中）线性相关则：
a. 当且仅当$S$中至少有一个向量是其他向量的线性组合
b. $p>n$
c. 包含$0$向量

证明略

6.线性变换

$x\mapsto T(x)$

$x\in \Bbb{R}^n$，$T$的定义域
$T(x)\in \Bbb{R}^m$,$T$的余定义域（取值空间）
$T(x)$成为$x$在$T$作用下的像，集合$T(x)$称为$T$的值域

线性变换

对于$T$定义域中的一切$u,v$和数$c$
（i）$T(u+v)=T(u)+T(v),T(0)=0$
（ii）$T(cu)=cT(u)$

• 矩阵变换都是线性变换：$x\mapsto Ax$

线性变换$T$的标准矩阵$A$的求法

$$T(x)=[T(e_1)\quad T(e_2)]\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=Ax$$

例子：$T(x)=3x,x\in \Bbb{R}^2$，求标准矩阵$A$

解：
$$a_1=T(e_1)=3e_1=\begin{bmatrix}3 \\ 0\end{bmatrix},a_2=T(e_2)=3e_2=\begin{bmatrix}0 \\ 3\end{bmatrix}$$
$$A=[a_1\quad a_2]=\begin{bmatrix}3&0\\ 0&3\end{bmatrix}$$

---

第二章 矩阵代数

*主要知识点

掌握矩阵加法、数乘、乘法、幂、转置等运算和相应性质
理解可逆矩阵的定义和可逆矩阵的运算律
熟练掌握通过初等变换求可逆矩阵的逆的方法
理解可逆矩阵定理
掌握分块矩阵的乘法和求逆运算

---

第三章 行列式

1.行列式的定义

余因子

$n×n矩阵A=[a_{ij}]$ 的余因子$C_{ij}由下式给出$ $$C_{ij}=(-1)^{i+j}\ detA_{ij}$$

行列式

$n×n矩阵A=[a_{ij}]$的行列式可由任意行或列的余因子展开式来计算
按第$i$行余因子展开式写法为 $$detA=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\ldots +a_{in}C_{in}$$ 按第$j$列余因子展开式写法为 $$detA=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\ldots +a_{nj}C_{nj}$$

若$A$为三角矩阵，$detA=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}$，对角线上元素的乘积

例子：$A=\begin{bmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\end{bmatrix}$，求行列式$detA$

解： $$detA=1·det\begin{bmatrix}4&-1\\-2&0\end{bmatrix}-5·det\begin{bmatrix}2&-1\\0&0\end{bmatrix}+0·det\begin{bmatrix}2&4\\0&-2\end{bmatrix}$$
或表示为 $$detA=1·\begin{vmatrix}4&-1\\-2&0\end{vmatrix}-5·\begin{vmatrix}2&-1\\0&0\end{vmatrix}+0·\begin{vmatrix}2&4\\0&-2\end{vmatrix}=-2$$

2.行列式的性质

以下矩阵 $A$和 $B$均为$n×n$方阵

行变换对行列式的影响

$A$是一个方阵，经过如下行变换得到$B$：
a. 某一行的倍数加到另一行，$detB=detA$
b. 两行互换，$detB=-detA$
c. 某行乘$k$倍，$detB=k·detA$
另一种叙述方式:$E$是一个行交换矩阵 $$detEA=(detE)(detA),其中 detE=\begin{cases}1&若E是一个行加倍\\-1&若E是一个交换\\-r&若E是一个r倍乘\end{cases}$$

可逆矩阵的行列式

方阵$A$可逆当且仅当$detA\not =0$
证明：$A$经过行变换后的阶梯形矩阵$U$的行列式为对角线上元素之积，若对角线上有$0$元素，即主元数$<n$，则$detA=(-1)^r(k_1·\ldots ·k_m)detU=0$

$detA^T=detA$
当$A^T$是奇异矩阵时，$A$也是奇异的

乘法性质

$detAB=(detA)·(detB)$
注意：通常$det(A+B)\not =detA+detB$

3.克拉默法则、体积和线性变换

克拉默法则在各种理论计算中是必需的。例如，它被用来研究$Ax=b$的解受$b$中元素的变化而受到什么影响。然而，这个公式对手工运算没有多大效果，除非是2×2或3×3矩阵。

$A_i(b)$

表示$A$中第$i$列由向量$b$而得的矩阵 $$A_i(b)=[a_1\ \ldots \ b\ \ldots \ a_n]$$

克拉默法则

$A$为n×n**可逆**矩阵，对$\Bbb{R}^n$中任意向量$b$，方程$Ax=b$的唯一解可由下式给出 $$x_i=\frac{detA_i(b)}{detA},i=1,2,\ldots ,n$$
证明如下： $$A·I_i(x)=A[e_1\ \ldots \ x\ \ldots \ e_n]=[Ae_1\ \ldots \ Ax\ \ldots \ Ae_n]$$ $$=A[a_1\ \ldots \ b\ \ldots \ a_n]=A_i(b)$$

例子：利用克拉默法则解$\begin{bmatrix}3&-2\\-5&4\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}6\\8\end{bmatrix}$

解： $$A_1(b)=\begin{bmatrix}6&-2\\-8&4\end{bmatrix},A_2(b)\begin{bmatrix}3&6\\-5&8\end{bmatrix},detA=2$$ 由克拉默法则，有 $$x_1=\frac{24+16}{2}=20,x_2=\frac{24+30}{2}=27$$

伴随矩阵

设$A^{-1}$第$j$列向量为$x$，则满足$Ax=e_j$，由克拉默法则 $$A^{-1}_{ij}=x_i=\dfrac{detA_i(e_j)}{detA}=\dfrac{(-1)^{i+j}detA_{ji}}{detA}$$ 即$A^{-1}$的$(i,j)$元素等于余因子$C_{ji}$（注意：下标是的$(i,j)$颠倒）除以$detA$ $$A^{-1}=\dfrac{1}{detA}\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots & &\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\\\end{bmatrix}$$ 右边的余因子矩阵称为$A$的伴随矩阵，记为$adjA$，即 $$A^{-1}=\dfrac{1}{detA}adjA$$

$A$ 的列确定的平行四边形的面积/平行六面体的体积为 $|detA|$

---

第四章 向量空间

*主要知识点

理解向量空间和子空间的定义
理解零空间和列空间的定义和两者比较
掌握零空间的显示表示方法
理解线性无关集和基的定义
熟练掌握求列向量、零向量和行向量的基的方法
理解向量空间的维数和矩阵的秩的定义
理解关于秩的可逆矩阵定理

子空间

向量空间$V$的子空间是其一个满足以下三个性质的子集$H$
a. $V$中的零向量在$H$中
b. $H$对向量加法封闭，即对$H$中任意向量$u,v$，仍和$u+v$在$H$中
c. $H$对标量乘法fen$H$$u$封闭，即对$H$中任意向量$u$和任意标量$c$，向量$cu$仍在$H$中

1.零空间

$NulA=\{x:x\in \Bbb{R}^n,Ax=0\}$

• $\Bbb{R}^n$的一个子空间
• 若$NulA$包含非零向量，它的生成集中向量个数等于方程$Ax=0$中自由变量的个数，自由变量作权，$x=x_iu+xj_v+x_kw+\ldots$，则$NulA=Span\{u,v,w,\ldots \}$
• 判断一个向量$v$是否在$NulA$中，仅需计算$Ax$
• 维数是自由变量个数

2.列空间

$ColA=\{b:b=Ax,x\in \Bbb{R}^n\}=Span\{a_1,\ldots ,a_n\}$

• $\Bbb{R}^m$的一个子空间，是线性变换$x\mapsto Ax$的值域
• $ColA=\Bbb{R}^m$当且仅当方程$Ax=b$ 对 $\Bbb{R}^m$中每一个 $b$ 有一个解（可逆）
• $ColA=\Bbb{R}^m$当且仅当线性变换$x\mapsto Ax$ 将 $\Bbb{R}^n$映到$\Bbb{R}^m$ 上
• 行变换会改变矩阵的列空间，矩阵$A$的主元列（注意！不是A经过行变换得到的阶梯性矩阵$U$的主元列！行变换可以改变矩阵的列空间）构成$ColA$的一个基
• 维数是主元列个数

3.线性变换的核与值域

核（零空间）

线性变换$T$的核是$V$中所有满足$T(u)=0$的向量$u$的集合（$0$是$W$中的零向量）

• 核是$V$的一个子空间
• 值域是$W$的一个子空间，是$T(x)$（$x\in V$）的向量集合，即标准矩阵$A$的列空间

4.基

定义

$H$是向量空间$V$的一个子空间，$V$中向量的指标集$B=\{b_1,\ldots ,b_p\}$称为$H$的一个基，如果
（i）$B$是一线性无关集合
（ii）由$B$生成的子空间与$H$相同，即$H=Span\{b_1,\ldots ,b_p\}$

指标集的符号是什么？胜似B不是B的那个

标准基

集合$\{e_1,\ldots ,e_n\}$称为$\Bbb{R}^n$的标准基
集合$\{1,t,t^2,\ldots ,t^n\}$称为$\Bbb{P}_n$的标准基

5.维数和秩

维数

向量空间$V$的维数$dimV$，是基$B$中的向量个数

• 零向量空间$\{0\}$的维数定义为零
• 若$V$不是由一有限集生成，则称为无限维的。例如，所有多项式的空间$\Bbb{P}$是无穷维的

$rankA=dimColA$

• $rankA+dimNulA=n$

可逆矩阵定理（续）
$A$是$n×n$矩阵，下列命题等价于$A$是可逆矩阵
m. $Span\{a_1,\ldots ,a_n\}=\Bbb{R}^n$
n. $ColA=\Bbb{R}^n$
o. $dimColA=n$
p. $rankA=n$
q. $NulA=\{0\}$
r. $dimNulA=0$

6.坐标系

定义

假设$B=\{b_1,\ldots ,b_n\}$是$V$的一个基，$x$ 在$V$中，$x$相对于基$B$的坐标（即$x$的$B-$坐标）是使得$x=c_1b_1+\ldots +c_nb_b$的权$c_1,\ldots ,c_n$
$\Bbb{R}^n$中的向量$[x]_B=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots \\c_n\end{bmatrix}$是$x$相对于$B$的坐标向量，映射$x\mapsto [x]_B$称为由$B$确定的坐标映射。
若$B=\{e_1,\ldots ,e_n\}$,则$[x]_B=x$。

坐标变换矩阵1 ： $x=P_B[x]_B$

• 令$P_B=[\ b_1\quad b_2\quad \ldots \quad b_n]$，则向量方程$x=c_1\boldsymbol{b_1}+c_2\boldsymbol{b_2}+\ldots +c_n\boldsymbol{b_n}$等价于从$B$到$\Bbb{R}^n$中标准基的坐标变换矩阵，并有 $$P_B^{-1}x=[x]_B\quad$$ 由$P_B^{-1}$产生由$V$映射到$\Bbb{R}^n$的一对一的线性变换坐标映射$x\mapsto [x]_B$

同构

从一个向量空间$V$映上到另一个向量空间$W$的一对一线性变换称为从$V$到$W$上的一个同构。

例 ：多项式空间$\Bbb{P}^3$有标准基$B$,一个典型元素$p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3$有$[p]_B=\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}$，坐标映射$p\mapsto [p]_B$是一个$\Bbb{P}^3$到$\Bbb{R}^4$上的同构，$\Bbb{P}^3$中所有向量空间运算都对应着$\Bbb{R}^4$中的运算。

坐标变换矩阵2 ： $[x]_C=\underset{C\gets B}{P}[x]_B$

• $B,C$是向量空间$V$的基，则存在一个$n×n$矩阵$\underset{C\gets B}{P}=[[b_1]_C\quad [b_2]_C\quad \ldots [b_n]_C]$，其中列是$B$中向量的$C-$坐标向量，使得 $[x]_C=\underset{C\gets B}{P}[x]_B$，称为由$B$到$C$的坐标变换矩阵
  并有 $$(\underset{C\gets B}{P})^{-1}=\underset{B\gets C}{P}$$

---

第五章 特征值与特征向量

* 主要知识点

*深刻理解特征值和特征向量的定义
理解零是矩阵的特征值当且仅当矩阵为不可逆的
理解矩阵的行列式等于零当且仅当矩阵为不可逆的
理解特征方程的定义以及其与特征值之间的关系
掌握矩阵对角化的方法

1.特征值与特征向量

定义

$A$是$n×n$矩阵，$x$为非零向量，若存在数$\lambda$使$Ax=\lambda x$有非平凡解$x$，则称$x$为$A$的特征值，$x$为对应于$\lambda$的特征向量

$$Ax=\lambda x\to Ax-\lambda x=0\to (A-\lambda I)x=0$$
由此可得，$\lambda$是特征值当且仅当方程$(A-\lambda I)x=0$有非平凡解，$\Bbb{R}^n$的子空间$Nul(A-\lambda I)$称为$A$对应于$\lambda$的特征空间（零向量和相应特征向量）

三角矩阵的主对角线元素是其特征值，$\lambda =a_{11},\ldots ,a_{nn}$

定理：特征向量线性无关

$\lambda _1,\ldots ,\lambda$是$n×n$矩阵$A$相异的特征值，$v_1,\ldots ,v_r$是对应的特征${v_1,\ldots ,v_r}$$

$\lambda =0$当且仅当$A$不可逆（$Ax=0$有非平凡解）

2.特征方程

可逆矩阵定理（续）

$A$是$n×n$矩阵，下列命题等价于$A$是可逆矩阵
s. $0$不是$A$的特征值
t. $detA\not =0$

• 特征值$\lambda$是特征方程方程$det(A-\lambda I)=0$的根
• $det(A-\lambda I)$称为$n×n$矩阵$A$的（$n$次）特征多项式
• 特征值$\lambda$作为特征方程根的重数称为$\lambda$的（代数）重数

• 例如：因子$(\lambda -5)$在特征多项式中出现了$2$次，故称特征值$5$有重数$2$
• 行化简$(A-\lambda I)=0$求通解，即为特征向量

相似 ： $P^{-1}AP=B$，$A$相似于$B$

• 把$A$变成$P^{-1}AP$的变换称为相似变换
• 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值和重数

3.对角化

$A=PDP^{-1}$（$D$是对角矩阵），$A^k=PD^kP^{-1}$

对角化定理

$n×n$矩阵$A$可对角化的充要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量
事实上，$D$为对角矩阵的充要条件是$P$的列向量是$A$的$n$个线性无关的特征向量，此时$D$对角线上的元素分别是$A$的对应于$P$中特征向量的特征值

可对角化的充要条件是，有足够的（$n$个）特征向量形成$\Bbb{R}^n$的基，即称为特征向量基

当特征值个数$p<n$时

a. 对于$1\leqslant k\leqslant p$，$\lambda _k$的特征空间维数小于或等于$\lambda _k$的代数重数
b. 可对角化充要条件：所有不同特征空间维数之和为$n$，即（i）特征多项式可完全分解为线性因子，（ii）每个$\lambda _k$的特征空间的维数等于$\lambda _k$的代数重数
c. 若$A$可对角化，$B_k$是对应于$\lambda _k$的特征向量（空间的基），则集合$B_1,\ldots ,B_p$的所有向量是$\Bbb{R}^n$的特征向量基础

---

第六章 正交性 （和最小二乘法 ）

* 主要知识点

• 理解正交性的定义
  理解正交集、正交基、正交投影、正交矩阵等定义以及定理6
  掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法

6.1 内积、长度和正交性

$u$和$v$内积定义为

$$[u_1\quad u_2\quad \ldots \quad u_n]\begin {bmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots \\v_n\end{bmatrix} =u_1v_1+u_2v_2+\ldots +u_nv_n$$

内积的运算性质

a. $u·v=v·u$
b. $(u+v)·w=u·w+v·w$

$$\lVert v\rVert=\sqrt{v·v}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\ldots +v_n^2} 且 \lVert v\rVert^2=v·v$$

向量$v$的单位化

$u=\dfrac{v}{\lVert v\rVert}$，此时$u$和$v$方向一致

• 向量距离：$\Bbb{R}^n$中向量$u$和$v$之间的距离为

$dist(u,v)=\lVert u-v\rVert$

正交

$$u·v=0$$
（勾股）定理：两个向量正交的充要条件是 $$\lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2$$

正交补

如果向量$z$与$\Bbb{R}^b$的子空间$W$中任意向量都正交，

则称$z$正交与$W$，$z$全体的集合称为$W$的正交补

，并记作$W^{\perp}$（读作$W$的正交补）

$NulA=(RowA)^{\perp},NulA^T=(ColA)^{\perp}$

$\Bbb{R}^2$和$\Bbb{R}^3$中的角度

$u$和$v$是$\Bbb{R}^2$或$\Bbb{R}^3$中的非零向量，则有
$$u·v=\lVert u\rVert\lVert v\rVert\cos\partial$$ 并可由余弦定理 $$\lVert u-v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2-2\lVert u\rVert\lVert v\rVert\cos\partial$$ 推导出

6.2 正交集

正交集$\{u_1,\ldots ,u_p\}$中，向量两两相交

线性组合的权

$\{u_1,\ldots ,u_p\}$是$\Bbb{R}^n$中子空间$W$的正交基，对$W$中的每个向量$y$，线性组合$y=c_1u_1+\ldots+c_p+u_p$的权可以由以下式子计算 $$c_j=\dfrac{y·u_j}{u_j·u_j}\quad j=1,\ldots ,p$$

$W$的单位正交基为$\{e_1,\ldots ,e_p\}$

• 一个$m×n$矩阵$U$具有单位正交列向量的充要条件是$U^TU=I$（设一个$1×n$矩阵相乘即可以证明），称为正交矩阵且有：
  a. $\lVert Ux\rVert=\lVert x\rVert$
  b. $(Ux)·(Uy)=x·y$
  c. $(Ux)·(Uy)=0$的充要条件是$x·y=0$
  即线性映射$x\mapsto Ux$保持长度和正交性
  d. $U^{-1}=U^T$

6.3 正交投影

$y=\hat{y}+z$

$\hat{y}=proj_Wy=\alpha u=\dfrac{y·u}{u·u}u$
$z\perp u$，\^{y}称为$y$在$u$上的投影，$z$称为$y$与$u$的正交分量。$y$在$cu$上和在$u$上的投影完全一致，由$u$生成子空间$W$，$\hat{y}$可以用$proj_Wy$表示，称为**$y$在$u$上的正交投影

$y=z_1+z_2$

当$y$表示成$\Bbb{R}^n$空间中的向量$u_1,\ldots,u_n$的线性组合时，其中，$z_1$是其中一些$u_i$的线性组合，$z_2$是其余$u_i$的线性组合

正交分解定理

$\hat{y}$属于$W$，$z$属于$W^{\perp}$，$\{u_1,\ldots,u_n\}$是$W$的任意正交基，那么 $$\hat{y}=\dfrac{y·u_1}{u_1·u_1}u_1+\ldots+\dfrac{y·u_p}{u_p·u_p}u_p$$

最佳逼近定理

$\hat{y}$是$y$在$W$上的正交投影，那么$\hat{y}$是$W$中最接近$y$的点

如果$\{u_1,\ldots,u_n\}$是$W$的任意正交基，那么

$$proj_Wy=（y·u_1)u_1+\ldots +(y·u_p)u_p$$ 如果$U=[u_1\quad u_2\quad \ldots \quad u_p]$，则 $$proj_Wy=UU^Ty$$

---

学校课程讲到这里就结束了，后面的计划寒假自学 -2019.1.12