第三章 行列式

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1.行列式的定义

余因子

$n×n矩阵A=[a_{ij}]$ 的余因子$C_{ij}由下式给出$ $$C_{ij}=(-1)^{i+j}\ detA_{ij}$$

行列式

$n×n矩阵A=[a_{ij}]$的行列式可由任意行或列的余因子展开式来计算
按第$i$行余因子展开式写法为 $$detA=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\ldots +a_{in}C_{in}$$ 按第$j$列余因子展开式写法为 $$detA=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\ldots +a_{nj}C_{nj}$$

• 若$A$为三角矩阵，$detA=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}$，对角线上元素的乘积

例子：$A=\begin{bmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\end{bmatrix}$，求行列式$detA$

解： $$detA=1·det\begin{bmatrix}4&-1\\-2&0\end{bmatrix}-5·det\begin{bmatrix}2&-1\\0&0\end{bmatrix}+0·det\begin{bmatrix}2&4\\0&-2\end{bmatrix}$$
或表示为 $$detA=1·\begin{vmatrix}4&-1\\-2&0\end{vmatrix}-5·\begin{vmatrix}2&-1\\0&0\end{vmatrix}+0·\begin{vmatrix}2&4\\0&-2\end{vmatrix}=-2$$

2.行列式的性质

*以下矩阵 $A$和 $B$均为$n×n$方阵*

行变换对行列式的影响

$A$是一个方阵，经过如下行变换得到$B$：
a. 某一行的倍数加到另一行，$detB=detA$
b. 两行互换，$detB=-detA$
c. 某行乘$k$倍，$detB=k·detA$
另一种叙述方式:$E$是一个行交换矩阵 $$detEA=(detE)(detA),其中 detE=\begin{cases}1&若E是一个行加倍\\-1&若E是一个交换\\-r&若E是一个r倍乘\end{cases}$$

可逆矩阵的行列式

方阵$A$可逆当且仅当$detA\not =0$
证明：$A$经过行变换后的阶梯形矩阵$U$的行列式为对角线上元素之积，若对角线上有$0$元素，即主元数$<n$，则$detA=(-1)^r(k_1·\ldots ·k_m)detU=0$

$detA^T=detA$
当$A^T$是奇异矩阵时，$A$也是奇异的

乘法性质

$detAB=(detA)·(detB)$
注意：通常$det(A+B)\not =detA+detB$

3.克拉默法则、体积和线性变换

克拉默法则在各种理论计算中是必需的。例如，它被用来研究$Ax=b$的解受$b$中元素的变化而受到什么影响。然而，这个公式对手工运算没有多大效果，除非是2×2或3×3矩阵。

$A_i(b)$表示$A$中第$i$列由向量$b$而得的矩阵

$$A_i(b)=[a_1\ \ldots \ b\ \ldots \ a_n]$$

克拉默法则

$A$为n×n**可逆**矩阵，对$\Bbb{R}^n$中任意向量$b$，方程$Ax=b$的唯一解可由下式给出 $$x_i=\frac{detA_i(b)}{detA},i=1,2,\ldots ,n$$
证明如下 $$A·I_i(x)=A[e_1\ \ldots \ x\ \ldots \ e_n]=[Ae_1\ \ldots \ Ax\ \ldots \ Ae_n]$$ $$=A[a_1\ \ldots \ b\ \ldots \ a_n]=A_i(b)$$

例子：利用克拉默法则解$\begin{bmatrix}3&-2\\-5&4\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}6\\8\end{bmatrix}$

解： $$A_1(b)=\begin{bmatrix}6&-2\\-8&4\end{bmatrix},A_2(b)\begin{bmatrix}3&6\\-5&8\end{bmatrix},detA=2$$ 由克拉默法则，有 $$x_1=\frac{24+16}{2}=20,x_2=\frac{24+30}{2}=27$$

伴随矩阵

设$A^{-1}$第$j$列向量为$x$，则满足$Ax=e_j$，由克拉默法则 $$A^{-1}_{ij}=x_i=\dfrac{detA_i(e_j)}{detA}=\dfrac{(-1)^{i+j}detA_{ji}}{detA}$$ 即$A^{-1}$的$(i,j)$元素等于余因子$C_{ji}$（注意：下标是的$(i,j)$颠倒）除以$detA$ $$A^{-1}=\dfrac{1}{detA}\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots & &\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\\\end{bmatrix}$$ 右边的余因子矩阵称为$A$的伴随矩阵，记为$adjA$，即 $$A^{-1}=\dfrac{1}{detA}adjA$$

$A$ 的列确定的平行四边形的面积/平行六面体的体积为 $|detA|$