第四章 向量空间

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* 主要知识点

理解向量空间和子空间的定义
理解零空间和列空间的定义和两者比较
掌握零空间的显示表示方法
理解线性无关集和基的定义
熟练掌握求列向量、零向量和行向量的基的方法
理解向量空间的维数和矩阵的秩的定义
理解关于秩的可逆矩阵定理

子空间

向量空间$V$的子空间是其一个满足以下三个性质的子集$H$
a. $V$中的零向量在$H$中
b. $H$对向量加法封闭，即对$H$中任意向量$u,v$，仍和$u+v$在$H$中
c. $H$对标量乘法fen$H$$u$封闭，即对$H$中任意向量$u$和任意标量$c$，向量$cu$仍在$H$中

1.零空间

$NulA=\{x:x\in \Bbb{R}^n,Ax=0\}$

• $\Bbb{R}^n$的一个子空间
• 若$NulA$包含非零向量，它的生成集中向量个数等于方程$Ax=0$中自由变量的个数，自由变量作权，$x=x_iu+xj_v+x_kw+\ldots$，则$NulA=Span\{u,v,w,\ldots \}$
• 判断一个向量$v$是否在$NulA$中，仅需计算$Ax$
• 维数是自由变量个数

2.列空间

$ColA=\{b:b=Ax,x\in \Bbb{R}^n\}=Span\{a_1,\ldots ,a_n\}$

• $\Bbb{R}^m$的一个子空间，是线性变换$x\mapsto Ax$的值域
• $ColA=\Bbb{R}^m$当且仅当方程$Ax=b$ 对 $\Bbb{R}^m$中每一个 $b$ 有一个解（可逆）
• $ColA=\Bbb{R}^m$当且仅当线性变换$x\mapsto Ax$ 将 $\Bbb{R}^n$映到$\Bbb{R}^m$ 上
• 行变换会改变矩阵的列空间，矩阵$A$的主元列（注意！不是A经过行变换得到的阶梯性矩阵$U$的主元列！行变换可以改变矩阵的列空间）构成$ColA$的一个基
• 维数是主元列个数

3.线性变换的核与值域

核（零空间）

线性变换$T$的核是$V$中所有满足$T(u)=0$的向量$u$的集合（$0$是$W$中的零向量）

• 核是$V$的一个子空间
• 值域是$W$的一个子空间，是$T(x)$（$x\in V$）的向量集合，即标准矩阵$A$的列空间

4.基

定义

$H$是向量空间$V$的一个子空间，$V$中向量的指标集$B=\{b_1,\ldots ,b_p\}$称为$H$的一个基，如果
（i）$B$是一线性无关集合
（ii）由$B$生成的子空间与$H$相同，即$H=Span\{b_1,\ldots ,b_p\}$

指标集的符号是什么么？胜似B不是B的那个

标准基

集合$\{e_1,\ldots ,e_n\}$称为$\Bbb{R}^n$的标准基
集合$\{1,t,t^2,\ldots ,t^n\}$称为$\Bbb{P}_n$的标准基

5.维数和秩

向量空间$V$的维数$dimV$，是基$B$中的向量个数

• 零向量空间$\{0\}$的维数定义为零
• 若$V$不是由一有限集生成，则称为无限维的。例如，所有多项式的空间$\Bbb{P}$是无穷维的

$rankA=dimColA$

• $rankA+dimNulA=n$

可逆矩阵定理（续）

$A$是$n×n$矩阵，下列命题等价于$A$是可逆矩阵
m. $Span\{a_1,\ldots ,a_n\}=\Bbb{R}^n$
n. $ColA=\Bbb{R}^n$
o. $dimColA=n$
p. $rankA=n$
q. $NulA=\{0\}$
r. $dimNulA=0$

6.坐标系

定义

假设$B=\{b_1,\ldots ,b_n\}$是$V$的一个基，$x$ 在$V$中，$x$相对于基$B$的坐标（即$x$的$B-$坐标）是使得$x=c_1b_1+\ldots +c_nb_b$的权$c_1,\ldots ,c_n$
$\Bbb{R}^n$中的向量$[x]_B=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots \\c_n\end{bmatrix}$是$x$相对于$B$的坐标向量，映射$x\mapsto [x]_B$称为由$B$确定的坐标映射。
若$B=\{e_1,\ldots ,e_n\}$,则$[x]_B=x$。

坐标变换矩阵1 ： $x=P_B[x]_B$

• 令$P_B=[\ b_1\quad b_2\quad \ldots \quad b_n]$，则向量方程$x=c_1\boldsymbol{b_1}+c_2\boldsymbol{b_2}+\ldots +c_n\boldsymbol{b_n}$等价于从$B$到$\Bbb{R}^n$中标准基的坐标变换矩阵，并有 $$P_B^{-1}x=[x]_B\quad$$ 由$P_B^{-1}$产生由$V$映射到$\Bbb{R}^n$的一对一的线性变换坐标映射$x\mapsto [x]_B$

同构

从一个向量空间$V$映上到另一个向量空间$W$的一对一线性变换称为从$V$到$W$上的一个同构。

例 ：多项式空间$\Bbb{P}^3$有标准基$B$,一个典型元素$p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3$有$[p]_B=\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}$，坐标映射$p\mapsto [p]_B$是一个$\Bbb{P}^3$到$\Bbb{R}^4$上的同构，$\Bbb{P}^3$中所有向量空间运算都对应着$\Bbb{R}^4$中的运算。

坐标变换矩阵2 ： $[x]_C=\underset{C\gets B}{P}[x]_B$

• $B,C$是向量空间$V$的基，则存在一个$n×n$矩阵$\underset{C\gets B}{P}=[[b_1]_C\quad [b_2]_C\quad \ldots [b_n]_C]$，其中列是$B$中向量的$C-$坐标向量，使得 $[x]_C=\underset{C\gets B}{P}[x]_B$，称为由$B$到$C$的坐标变换矩阵
  并有 $$(\underset{C\gets B}{P})^{-1}=\underset{B\gets C}{P}$$