第五章 特征值与特征向量

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* 主要知识点

*深刻理解特征值和特征向量的定义
理解零是矩阵的特征值当且仅当矩阵为不可逆的
理解矩阵的行列式等于零当且仅当矩阵为不可逆的
理解特征方程的定义以及其与特征值之间的关系
掌握矩阵对角化的方法

1.特征值与特征向量

定义

$A$是$n×n$矩阵，$x$为非零向量，若存在数$\lambda$使$Ax=\lambda x$有非平凡解$x$，则称$x$为$A$的特征值，$x$为对应于$\lambda$的特征向量

$$Ax=\lambda x\to Ax-\lambda x=0\to (A-\lambda I)x=0$$
由此可得，$\lambda$是特征值当且仅当方程$(A-\lambda I)x=0$有非平凡解，$\Bbb{R}^n$的子空间$Nul(A-\lambda I)$称为$A$对应于$\lambda$的特征空间（零向量和相应特征向量）

三角矩阵的主对角线元素是其特征值，$\lambda =a_{11},\ldots ,a_{nn}$

定理：特征向量线性无关

$\lambda _1,\ldots ,\lambda$是$n×n$矩阵$A$相异的特征值，$v_1,\ldots ,v_r$是对应的特征${v_1,\ldots ,v_r}$$

$\lambda =0$当且仅当$A$不可逆（$Ax=0$有非平凡解）

2.特征方程

可逆矩阵定理（续）

$A$是$n×n$矩阵，下列命题等价于$A$是可逆矩阵
s. $0$不是$A$的特征值
t. $detA\not =0$

• 特征值$\lambda$是特征方程方程$det(A-\lambda I)=0$的根
• $det(A-\lambda I)$称为$n×n$矩阵$A$的（$n$次）特征多项式
• 特征值$\lambda$作为特征方程根的重数称为$\lambda$的（代数）重数

• 例如：因子$(\lambda -5)$在特征多项式中出现了$2$次，故称特征值$5$有重数$2$
• 行化简$(A-\lambda I)=0$求通解，即为特征向量

相似 ： $P^{-1}AP=B$，$A$相似于$B$

• 把$A$变成$P^{-1}AP$的变换称为相似变换
• 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值和重数

3.对角化

$A=PDP^{-1}$（$D$是对角矩阵），$A^k=PD^kP^{-1}$

对角化定理

$n×n$矩阵$A$可对角化的充要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量
事实上，$D$为对角矩阵的充要条件是$P$的列向量是$A$的$n$个线性无关的特征向量，此时$D$对角线上的元素分别是$A$的对应于$P$中特征向量的特征值

可对角化的充要条件是，有足够的（$n$个）特征向量形成$\Bbb{R}^n$的基，即称为特征向量基

当特征值个数$p<n$时

a. 对于$1\leqslant k\leqslant p$，$\lambda _k$的特征空间维数小于或等于$\lambda _k$的代数重数
b. 可对角化充要条件：所有不同特征空间维数之和为$n$，即（i）特征多项式可完全分解为线性因子，（ii）每个$\lambda _k$的特征空间的维数等于$\lambda _k$的代数重数
c. 若$A$可对角化，$B_k$是对应于$\lambda _k$的特征向量（空间的基），则集合$B_1,\ldots ,B_p$的所有向量是$\Bbb{R}^n$的特征向量基础

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