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@abc666666 2024-05-02T01:46:51.000000Z 字数 4495 阅读 96

学习笔记 - 关于求和符号

maths


本文其实是由一些资料里面的一些东西东拼西凑组合起来的文章。

目录:

每次看到 看到都会十分懵逼,于是 ,在 ? 天后,打算学习,我可真懒。

1. 的定义与表示

在数学中常遇到多项式求和,为表述方便,在1820年 引入求和符号 来简述表述的方法,且这种方式非常普遍,所以了解求和符号 至关重要。

这个符号一般用在求和式中,求和式一般包括三个部分:

求和域:求和的范围

求和项:求和的对象

求和符号:就是这个符号,指明了这个式子是个求和式。

以上三点请牢记。所有的求和表达式不管多花里胡哨,全都万变不离其宗。

的使用例子(第一种方法表示):

有时候会显示成

的含义是数列 的第 项到第 项的值之和。而这些正整数可以表示为

所以,我们可以写出等价于 的另外一种式子:

只是这种形式明显比第一种形式复杂,所以当求和域是一串连续的整数组成的集合时,更推荐使用第一种。

再次举例以方便理解?

很多时候,数学书上的公式为了简便会写成连加号。

其实,连加号看起来并不是很直观。所以当你感到难以理解时,应该将连加号展开,写成带省略号的加和表达式。很多时候,只是这样小小的一步,一个表达式瞬间就清晰了很多。

特殊情况:

总之,了解和掌握求和符号的一般规律, 不仅可以使复杂问题的表述简单, 而且也有助于对相关算法的理解。

由于我懒,剩下的有时间再编吧。

(关于带有额外说明的的和多元求和域的不知道,就不搬了。想看的话下面资料中有)

2.求和符号运算的性质

性质1:

很明显, 这是加法结合律的必然结果. 相当于把n个数分成了两部分, 分别求和后再求和

证明(这你还需要看?):


性质2:

证明:

性质2可以进一步扩展到多项. 所以性质2表明, 我们可以把一个分解成多个, 当然也可以把多个求和符号合并为一个。

性质3:

性质3说明求和符号里的常数可以提取到求和符号外面. 这一点是乘法分配律的结果。

性质4:

性质2和性质3的结合,证明:

所有性质整理了一下:

3.求和的技巧

考虑求和

的还可以写成另外两种等价写法:



所以:

4.伸缩求和法

一个重要的公式:


证明:

5.公式

1.


2.

3.

推导过程暂时不贴了,暂时不想搬了,这篇文章有时间再更

证明:
1.


2.

3.

资料

找到的一些资料(文章大部分内容来源于此):

  1. 数学求和符号用法大汇总

  2. 高等数学-求和符号和公式(大部分内容来源)

  3. 求和符号的定义和性质(大部分内容来源)

  4. 第一讲 数域

  5. 高中知识复习与拓展——数列的求和

  6. 数学-求和符号的性质

  7. 求和求乘累加累乘符号运算法则-数学

  8. 有趣的数学 求和符号 (sigma)简述

  9. 关于求和号的若干问题

  10. 【求和符号】的正经科普(大部分内容来源)

  11. 求和式子的几个性质及下标变换

  12. 数列的求和

再次说明:本文其实就是这些资料(里面有部分甚至都没看完)里面的一些东西东拼西凑组合起来的文章。

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