学习笔记 - log

maths 学习笔记

目录:

1.定义

如果$x^n=a$,
那么$n$叫作以$x$为底$a$的对数。
记作$n=\log_xa(x>0\text{且}x\neq1)$。

2.性质

$\log_aa^x=x$ (定义)
$\log_a1=0 (a^0=1)$
$\log_aa=1 (a^1=a)$
负数与0不存在对数 (定义)

3.计算公式

$1. ~~ x^{\log_x a}=a$
$2. ~~ \log_x a+\log_x b=\log_x ab$
$3. ~~ \log_x a-\log_x b=\log_x \frac{a}{b}$
$4. ~~ \log_x \frac{1}{a}=-\log_x a$
$5. ~~ \log_x a^b=b\log_x a$
$6. ~~ \log_{x^b} a=\frac{1}{b}\log_x a$
$7. ~~ \log_{x^n} a^m=\frac{m}{n}\log_x a$
$8. ~~ \log_b a=\frac{\log_x a}{\log_x b}$
$9. ~~ \log_a b \times \log_b a=1$

证明:

1.
设$x^n=a$,则$\log_x a=n$
带入得$x^{ \log_x a}=a$
2.
设$n=\log_x a,m=\log_x b$,则$x^{n}=a,x^{m}=b$.
$ab=x^{n+m}$
$\log_x ab=\log_x x^{n+m}=n+m=\log_x a+\log_x b$
3.
设$n=\log_x a,m=\log_x b$,则$x^{n}=a,x^{m}=b$.
$ab=x^{n-m}$
$\log_x ab=\log_x x^{n-m}=n-m=\log_x a-\log_x b$
4.
$\log_x\frac{1}{a}=\log_x1-\log_xa=0-\log_xa=-\log_xa$
5.
$\log_xa^b=\underbrace{\log_x a+\log_x a+\log_x a+ \dots +\log_x a}_{b\text{个}\log_x a}=b\log_x a$
6.
设$\log_{x^b} a=n$
$\left(x^{b}\right)^n=x^{bn}=a$
$\log_xa=bn=b\log_{x^b} a$
$\frac{1}{b}\log_x a=\log_{x^b} a$
7.
$\log_{x^n}a^m=m\log_{x^n}a=\frac{m}{n}\log_x a$
8.
设$m=\log_b a$,则$b^m=a$
$\log_x a=\log_x b^m\\ ~~~~~~~~~~ =m \log_x b\\ ~~~~~~~~~~ =\log_b a \times \log_x b$
$\log_b a=\frac{\log_x a}{\log_x b}$
9.
$\log_b a=\frac{\log_b b}{\log_b a}$
$~~~~~~~~~~=\frac{1}{\log_b a}$
$\log_a b \times \log_b a=\frac{\log_b b}{\log_b a} \times \log_b a =\log_b b=1$