解方程$\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{ax^2+bx+d} = e ~ ~(a>0)$

maths 方程

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1. $\sqrt{kx^2+a}+\sqrt{kx^2+b}=c$

请看此题:

$$\sqrt{x^2+7}+\sqrt{x^2-5}=6 \\ 不知是否感觉无从下手 \\ 我们可以考虑(a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\ \therefore (\sqrt{x^2+7}+\sqrt{x^2-5})(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-5})=(\sqrt{x^2+7})^2-(\sqrt{x^2-5})^2 \\ 即6(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-5})=(x^2+7)-(x^2-5)=12 \\ \sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-5}=2 \\ 现在我们可以用和差公式解决 \\ \sqrt{x^2+7}=\frac{6+2}{2}=4 \\ \therefore x=\pm\sqrt{4^2-7}=\pm 3$$

这样，我们可以完成$\sqrt{kx^2+a}+\sqrt{kx^2+b}=c$ 求$x$

$$\sqrt{kx^2+a}+\sqrt{kx^2+b}=c \\ \sqrt{kx^2+a}-\sqrt{kx^2+b}=\frac{a-b}{c} \\ \therefore \sqrt{kx^2+a}=\frac{\frac{a-b}{c}+c}{2} \\ \therefore x=\pm\sqrt{\left( \frac{\frac{a-b}{c}+c}{2} \right)^2-a}$$

2. $\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{ax^2+bx+d} = e ~ ~(a>0)$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \nonumber 此时，可通过凑完全平方解\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{ax^2+bx+d} = e ~ ~(a>0) \\ 该式可转为\sqrt{\left(\sqrt a x+\frac{b}{2\sqrt a}\right)^2+\left( c-\frac{b^2}{4a} \right)}+\sqrt{\left(\sqrt a x+\frac{b}{2\sqrt a}\right)^2+\left( d-\frac{b^2}{4a} \right)}=e \\ \therefore \left(\sqrt a x+\frac{b}{2\sqrt a}\right) = \pm\sqrt{\left( \frac{\frac{c-d}{e}+e}{2} \right)^2-c+\frac{b^2}{4a}} \\ \therefore ~ x = \frac{\pm\sqrt{\left( \frac{\frac{c-d}{e}+e}{2} \right)^2-c+\frac{b^2}{4a}}-\frac{b}{2\sqrt a}}{\sqrt a} \end{aligned} \end{equation}$$