[关闭]
@cleardusk 2017-01-10T05:18:23.000000Z 字数 4932 阅读 2753

矩阵分析 2014&2016 题解

雁栖湖


2016 秋季的试卷基本是原题哈~
祝各位明天伴随着雪花考试愉快!
有兴趣可以与本人交流~

成绩出来了...

日志

说明

这是自己的笔记,侧重点不在于题目的答案,而在于过程。做题是次要的,重要的是是否真的 get 到了线代的一些核心概念与思想?

书指的是这本 Matrix Analysis and Applied Linear Algebra by CD Meyer下载地址

2014&2016&2016秋季 年的题目

1. 判断题

1.1 Solution

1.2 评注

第一题
乘法和除法的次数应该是 ,加法和减法的次数是 。Gauss-Jordan 乘法和除法次数是 ,很自然的比高斯消元法复杂度高。

第二题
证明:考察 列向量张成的向量空间,,令 ,有 ,根据向量空间和的定义,有 ,即有

第三题
[更正]对称矩阵默认为在 上的矩阵,此题还是为 T 吧。
正确表述:Hermitian 矩阵不一定是对称矩阵,实对称矩阵一定是 Hermitian 矩阵。
Notes:
实对称矩阵:
Hermitian matrix:

第四题
考察 ,有 ,如果默认对称矩阵是定义在 上的,则有
Notes:
Skew sysmetric matrix:
Skew hermitian matrix:

第五题
只要验证 就好了,证明见 P117 ,一点值得注意:matlab 中的 ' 是共轭转置,即 ,转置和共轭分别为 transposeconj
Notes:
Unitary matrix(酉矩阵):,此矩阵性质很好,列向量集合是 orthonormal set,可以构成 的一组标准正交基。将酉矩阵作为一个线性变换,它不改变向量的长度,只改变方向:

此处插入一段子,来自知乎:
小波和傅里叶变换异同? 都是搞基,只是基不一样。

(p.s. 然而我还是没懂)

关于傅里叶变换与基,P300-303 写的非常漂亮。

第六题
证明:从迹的性质及矩阵乘法性质来推导

有结合律:
,但 ,故

第七题
应该是 或者
证明:

可以证明 ,用 代替 ,即

整个证明有点繁琐,略。

更深刻一点的性质是这个:

第八题
证明:
定义内积 ,则有 iff

第九题
正交矩阵是在 上的酉矩阵,验证 是否成立。很明显,第三列不满足要求。

第十题
右边表达式明显错误,应该为


经津旭提醒,这就是随机过程课上讲高斯过程算协方差矩阵时的打洞

第十一题
证明:,故

第十二题
举一个反例:,其特征多项式不一致。

第十三题
对称矩阵没这个性质,考察 ,可以构造反例

第十四题
如果 非奇异,则成立。看这张图
diagram0.svg-102.4kB

第十五题
Normal Matrix:

2. 解答题

2.1 第二题

(1)

依次为绕 轴的旋转矩阵



(2)

1-norm: ,即列的绝对值和 的最大值

2-norm: ,即 最大的特征值

norm: ,即行的绝对值和 的最大值

2.2 第三题

(1)

这道题十分那就应该答十个点 A5 和 M5
(A1) (加法封闭性)
(A2) (加法结合)
(A3) (加法交换)
(A4) (加法单位元)
(A5) (加法逆)

(M1) (乘法封闭性)
(M2) (乘法结合)
(M3) (乘法分配)
(M4) (乘法分配)
(M5) (乘法单位元)

(2)

看看是如何利用上面列出的十条性质中的某些性质证明的。
假设存在两个零元素 ,根据加法单位元和加法交换的性质有 ,假设存在 个零元素,根据加法结合性和加法交换性,同样可以证明

随机过程上讲泊松过程,只根据四个基本的前提,就可以严格推导出泊松过程的表达式,这是一个训练数学严密思维的很好的例子。其中从正整数域推广到实数域的演绎更是巧妙,虽然对学过实分析的人来说这不算什么。自己随机过程学的很渣(要挂了==),但还是有所感悟的。

关于计算

关于线性代数,有一个观点:研究的东西最后都可以转化为算法;即输入 输出,箭头上方是算法。

2.3 第四题

2.4 第五题

2.5 第六题

2.6 第七题

(1)

证明:所有的 构成一个向量空间,定义内积 ,应当证明这确实是一个向量空间,以及证明内积确实满足定义内积的要求,此处忽略。

有了内积就有了
在这个内积空间,有 CBS 不等式:,有


两边平方即得要证的式子。

(2)

证明:对于非奇异矩阵 ;现证明奇异对称阵

等价于 (默认对称矩阵为实矩阵),现证明前者。

,有 ,有


2016 年部分试题解答

判断题

评注

第八题
此时

第九题
,若 为奇数,则 ,则 奇异

第十题
Gauss:
Gauss Jordan:
Gram-Schmidt:
Householder:
Givens:

第十六题
的特征值

第二题第一问

(1) 行最简形的非零行
(2) 行最简形的主元(pivot)个数
(3) 基本列的个数
(4) 极大线性无关列的个数
(5) 极大线性无关行的个数
(6)
(7)
(8)
(9)

第三题第三问

证明: 是一个线性变换(函数),且有
令矩阵 ,有 ,其它元素均为 ;取 ,则 属于对称矩阵。 ,有 。这说明 中的任意一个元素一定是反对称矩阵。
现证明
对称矩阵 可以写成 是对角矩阵,有 ,故 。这说明,所有的反对称矩阵构成的集合与 正交。

第四题

注意 3-digit floating-point,这题的 rank 应该为 2

致谢

学霸室友们~

添加新批注
在作者公开此批注前,只有你和作者可见。
回复批注