基于短时交通流预测关键技术研究

数学建模

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$3.1 短时交通流预测概述$
1. 1 单点短时交通流预测理论
$\ \ \ \ \ 交通流量是指路网中某一地点或某一断面在单位时间内通过的车辆数.交通流预测$
$指的是在t时刻实时预测出下一个决策时刻t+\Delta t 乃至以后的若干时刻通过某一路段$
$监测点的交通流量.一般认为预测时间跨度\Delta t可以为区间5min到15min的预测称之$
$为短时交通流预测.即利用已知的m路段以及与其相邻的上下游路段在过去k个时间段$
$的交通流参数f_{m}(t-l)(l=1,2,...,k),求出m路段在未来的k个时间段内的交通流$
$估计值f_{m}(t+k).$
2. 2 短时交通流预测结果评价指标
$\ \ \ \ 为了对短时交通流预测方法的结果进行评价,就需要引入一些性能指标来作为预测模$
$型的衡量标准.这里将引入四个主要评价指标：$
1.$MSE(均方误差)$

$$MSE=\sqrt{\frac{1}{N}\sum (Y_{pred}(t)- Y_{real}(t))^2}$$
2.$均等系数（EC）$
$$EC=1-\frac{\sqrt{\sum(Y_{pred(t)-Y_{real}(t)})^2}}{\sqrt{\sum Y_{pred}^2(t)}+\sqrt{\sum Y_{real}^2(t)}}$$
与 $$MAE=\frac{1}{N}\sum\begin{vmatrix}Y_{pred}(t)-Y_{real}(t)\end{vmatrix}$$
4.$MRE(平均有绝对百分比误差)$
$$MRE=\frac{1}{N}\sum\begin{vmatrix}\frac{Y_{pred}(t)-Y_{real}(t)}{Y_{real}(t)}\end{vmatrix}$$
$在以上四个指标中,MSE表示的误差的大小,同时也反映了误差的离散分布程度,其$
$值越小说明误差的离散程度越小,预测的效果越好,MAE反映的是预测值与实际值的$
$之间的误差的绝对值.MRE反映的是预测值相对于实际值的偏离程度.EC的大小表$
$明预测效果的理想程度,如果EC大于0.9,则可以认为是满意的预测.$
3. 3 路口相关性
$\ \ \ \ \ 城市道路交通网是一个复杂的系统.路网是由路段和节点组成,它是一个由路段连接$
$就而成的有机整体.各个道路路口的所在位置和周边环境影响着其交通状况,且彼此之$
$间相互关联和作用着.根据整个路口之间的关联程度以及各种效益目标对多个路口进$
$行子区划分.两道路拥有相同的车道数和道路等级,则他们的通行能力差不多;两道路$
距离很近,则他们的交通流的车流组成成分基本一致,如此我们可以根据道路参数和
流量数据等,计算交叉路口之间的相关系数,根据研究路口的相关性可以分为时间和空$间相关性例如上下班时间一致,出行方式一致(公交或者地铁)$
$\ \ \ \ \ PCA(主成分分析)$
$(1) 数据的规格化处理$
$\ \ \ \ 假设路口交通流量数据采集样本长度为N,路网中的路口数为n，则所有的原始数据$
$为$
$$C=[c(1)c(2)...c(N)]\in R^{n*N}$$
$为克服原始数据单位不统一等问题,需要对原始数据进行必要的规格化处理,使规格$
$化的数据样本成为标准的正态分布.必须对数据做如下处理$
$$x_i(t)=\frac {c_i(t)-e(c_i)}{\delta(c_i)}\forall i,t$$
$$X=[x(1)x(2)...x(N)]\in R^{n*N}$$
$其中e(c_i)=(\frac{1}{N})\sum_{t=1}^Nc_i(t)是样本均值;$
$\delta^2(c_i)=[\frac{1}{N-1}]\sum_i^N[c_i(t)-e(c_i)]^2是样本方差$
$(2)样本相关系数矩阵的建立$
$$R(X)=[\frac{1}{N-1}]XX^T=[\frac{1}{N-1}]\sum_i^Nx(t)x^T(t)=(r_{ij})_{n*N}$$
$其中,r_{ij}是第i个路口和第J个路口的相关系数.$
$(3)主成分的计算$
通过矩阵运算求出系数矩阵R的所有特征值所对应的正交特征向量
$$q(1),q(2),...,q(n)$$
$$q(t)=[q_1(t)q_2(t)...q_n(t)]^T\in R^n,t=1,2,3,...,n$$
$$y_i(t)=q(i)^Tx(t),i=1,2,...,n$$
$3.2 基于BP神经网络的短时交通流预测$
$\ \ \ \ \ $1. BP神经网络是目前应用最为广泛的神经网络之一.该算法的思想是沿着神经网络的实际输出和期望输出之间的误差的负梯度方向,从后向前逐层地迭代修正网络的权值和阈值.基本BP神经网络模型为一个三层前馈网络,包括输入层,隐含层,输出层,各层的神经元彼此互相连接,且对应一个权值.
本文将相关路口历史交通流量数据作为神经网络的输入,对目标路口交通流量进行短时预测.对于隐含层的节点数目将由以下公式给出.
$$h=\sqrt{m+n}+a$$
其中h为隐含层节点数目,m为输入层节点数目,a为调节因子,其数目在1到10之间波动.
假设输入层有M个神经元,对应的输入$I_i=[x_1,x_2,.....x_M]^T$;隐含层含有L个神经元,输出层含有J个神经元,激励函数为$f(x)=(1+exp(-x))^-1$，另外期望输出将被用于矫正神经网络的实际输出.$\mathcal w_{ml}$为输入层的第m个神经元到隐含层第l个神经元之间的连接权值,而$w_{lj}$表示隐含层第l个神经元和输出层第J个神经元之间的连接权值;可用$\mathcal v_l和\theta_j$分别表示隐含层第l个神经元和输出层第J个神经元的阈值;$v_l$表示隐含层第l个神经元的输出,它将被传递到输出层神经元作为其输入的一部分,而$y_j$表示输出层第J个神经元的实际输出.另外$\eta>0$为学习步长,用来调节神经网络搜索最优权值的速度和振荡程度.
$\ \ \ \ \ \ $隐含层中第l个神经元的输出为
$$v_l=f(\sum_{m=1}^M\mathcal w_{ml}x_m-\mathcal v_l)l=1,2,....,L$$
$\ \ \ \ \ \ $输出层中第j个神经元的输出为:
$$y_j=f(\sum_{l=1}^Lw_{lj}v_l-\theta_j)j=1,2,...,J$$
此时,对应第I个样本对的神经网络误差函数为
$$E=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^J(y_j-O_{ij})^2$$
令
$$\delta_{ij}=(O_{ij}-y_j)f^{'}$$
隐含层第l个神经元到输出神经元第J个神经元之间的连接权值增量为:
$$\Delta w_{lj}=-\eta\frac{\partial E}{\partial w_{lj}}=-\eta\frac{\partial E}{\partial y_j}*\frac{\partial y_j}{\partial w_{lj}}=\eta\delta_{ij}v_l$$
同理可得:
$$\Delta\theta_j=-\eta\frac{\partial E}{\partial \theta_j}=-\eta\frac{\partial E}{\partial y_j}*\frac{\partial y_j}{\partial \theta_j}=-\eta\delta_{ij}$$
而从输入层第m个神经元到隐含层第l个神经元之间的连接权值增量由一下公式给出:
$$\Delta\mathcal w_{ml}=-\eta\frac{\partial E}{\partial \mathcal w_{ml}}=-\eta\sum_{j=1}^J\frac{\partial E}{\partial y_j}*\frac{\partial y_j}{\partial v_l}\frac{\partial v_l}{\partial \mathcal w_{ml}}=\eta x_m\sum_{j=1}^J\delta_{ij}\mathcal w_{lj}f^{'}$$
同理可得:
$$\Delta\mathcal v_l=-\eta\sum_{j=1}^{J}\delta_{ij}\mathcal w_{lj}f^{,}$$
此时,结点之间的权值和结点的阈值跟新公式为
$$\begin{cases}\theta_j\leftarrow\theta_j+\Delta\theta_j\\w_{lj}\leftarrow w_{lj}+\Delta w_{lj}\end{cases} \forall j=1,2,...,J和l=1,2,...,L$$
$$\begin{cases}\mathcal v_l\leftarrow\mathcal v_l+\Delta\mathcal v_l\\\mathcal w_{ml}\leftarrow\mathcal w_{ml}+\Delta\mathcal w_{ml}\end{cases},\forall l=1,2,...,L和m=1,2,...,M$$
$\ \ \ \ \ $2.BP神经网络的改进
$\ \ \ \ \ $标准BP神经网络容易陷入局部极小点,学习收敛速度慢.因此为了弥补标准BP神经网络算法的不足,本节将重点介绍L-M算法.
$\ \ \ \ \ $设$W(k)$表示第$k$次迭代的权值和阈值所构成的向量,$W(k+1)$为新的权值和阈值所构成的向量.因此可得:
$$W(k+1)=W(k)+\Delta W$$
设误差指标函数为:
$$E(W)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Ne_i^2(W)$$
其中,$e_i(W)为期望输出和实际输出的误差;$N为目标向量的维数.
令$e(W)=[e_1(W),e_2(W),....，e_N(W)]^T$则
$$\nabla E(W)=J^T(W)e(W)$$
$$\nabla^2 E(W)=J^T(W)J(W)+S(W)$$
$$\S(W)=\sum_{i=1}^Ne_i(W)\nabla e_i(W)$$
$\nabla E(W)$表示梯度,$\nabla^2 E(W)$表示误差指标函数的Hessian的矩阵;
J(W)矩阵为:
$$\begin{bmatrix}\frac{\partial e_i(W)}{\partial W_2} &L & \frac{\partial e_i(W)}{\partial W_n}&\frac{\partial e_1(W)}{\partial W_n}\\ \frac{\partial e_2(W)}{\partial W_1}&\frac{\partial e_2(W)}{\partial W_2}&L&\frac{\partial e_2(W)}{\partial W_n}\\ M&M&L&M\\\frac{\partial e_N(W)}{\partial W_1}&\frac{\partial e_N(W)}{\partial W_2}&L&\frac{\partial e_N(W)}{\partial W_n}\end{bmatrix}$$
对于牛顿法,有:
$$\Delta W=-[\nabla^2 E(W)]^{-1}\nabla E(W)$$
当$S(W)\cong0时$ $$\Delta W=-[J^T(W)J(W)+uI]^{-1}J^T(W)E(W)$$ 在实际过程中,u是一个试探性参数,如果某一步中,E没能减小,则将u乘以10以后在重复该步,最终使E下降.如果某一步E变得更小,则将u缩小10倍,继续运行,直到E符合要求. 利用BP神经网络进行交通流短时预测可以分为三个步骤:第一步,对数据进行预处理,归一化和处理冗余数据以获得样本数据.第二步为神经网络的训练;第三步,进行短时交通流预测. $\ \ \ \ \ 3.3基于小波神经网络的短时交通流预测$ $\ \ \ \ \ $小波神经网络(WNN)的基本思想:利用小波元来取代神经元,即用非线性小波基函数来代替一般神经元的激励函数.WNN以BP神经网络的拓扑结构作为基础,将小波函数作为隐含层的传递函数,运用误差函数极小化原理,不断地对小波基的波形和尺度进行变化,从而调整整个网络的权值和阈值. $\ \ \ \ \ 设X_1,X_2,....X_k$为WNN的输入参数,$Y_1,Y_2,...,Y_m$为WNN的预测输出;$\mathcal w_{ij},\mathcal w_{jk}$为WNN的权值.因此隐含层和输出层可由下面公式得. 隐含层的输出： $$h(j)=h_j \begin{bmatrix}\frac{\sum_{i=1}^k \mathcal w_{ij}x_i-b_j}{a_j}\end{bmatrix},j=1,2,...,l$$ 输出层的输出: $$y(k)=\sum_{i=1}^{l}\mathcal w_{ik}h(i) k=1,2,..,m$$ 其中$h_j$表示小波基函数;$a_j$表示小波基函数的伸缩因子,$b_j$表示小波基函数$h_j$的平移因子,$\mathcal w_{ik}$表示隐含层到输出层的连接权值. 选取的小波基函数$h_j$为: $$y=cos(1.75x)exp(\frac{-x^2}{2})$$ WNN参数修正过程如下: (1)计算网络预测误差 $$e=\sum_{k=1}^my_{expect}-y_{pred}$$ (2)根据误差e修正WNN参数和网络权值. $$\mathcal w_{n,k}^{(i+1)}=\mathcal w_{n,k}^i+\Delta \mathcal w_{n,k}^{(i+1)},\Delta \mathcal w_{n,k}^{(i+1)}==\eta\frac{\partial e}{\partial \mathcal w_{n,k}^{(i)}}$$ $$a_k^{(i+1)}=a_k^i+\Delta a_k^{(i+1)} \Delta a_k^{(i+1)}=-\eta\frac{\partial e}{\partial a_k^{(i)}}$$ $$b_k^{(i+1)}=b_k^i+\Delta b_k^{(i+1)},\Delta b_k^{(i+1)} =-\eta\frac{\partial e}{\partial b_k^{(i)}}$$ 基于WNN的交通流预测过程. $(1) 准备训练样本并将起归一化.$ $(2) 初始化WNN参数.设置网络学习速率\eta$ $(3) 将样本分为测试样本和训练样本,测试样本用于测试网络的预测精度.$ $(4)预测输出.$ $(5)修改网络参数.$ $(6)达到最大训练步数或者预测误差小于设定值则停止训练,否则转到步骤4$ $(7)以训练好的WNN进行短时交通流预测$ $\ \ \ \ \ 3.4基于以上模型预测新增车辆的通行时间$ $设$Q$为经过训练好的神经网络所给出的预测交通流量.K为交通密度,V为平均行程速度.$ 可得: $$Q=KV$$ 又设$T$为信号灯整个周期的时间.$N$为该周期通过的汽车总量. 可得: $$N=QT$$ 设$L$为相关路口的长度,又因为 $$K=\frac{N}{L}$$ 设$n$为该路口的总车辆 则： $$JTN=n$$
$所以新增的时间为(J-1)T$