Chapter 3 Challenge Problem

线性代数 习题

$29\ \ A=uv^{t},这个等式告诉我们矩阵A的每一列向量都是由向量u线性组合生成的.\\矩阵A里的每一个行向量都是由向量v线性组合生成的.这告诉我们矩阵A所张成的\\列空间是向量u所在的直线,其张成的行空间是向量v所在的直线.而对于零空间和左\\零空间.相当于求解uv^{t}x=0和vu^{t}x=0其中x所张成的空间.观察这两个等式可\\知N（A）是垂直于向量v的一条过原点的直线(即v^{t}x=0,内积的定义),N(A^{T})\\是垂直于向量u的一条过原点的直线(同理).假定存在矩阵B其四大基本子空间和矩\\阵A一样,那么说明其列向量也是有向量u线性组合而成,其行向量也是由向量v线性\\组合而成的,那么矩阵vB将等价于cuv^{t},其中c为常数.即cA=B\\ 30\ \ 我打算教大家怎么解这种类似的题(当它没给提示的话),我们观察到前两道题\\ 分别要我们求矩阵A在3*3矩阵空间里的"零空间"和"列空间".即AX=0(其中X是\\3*3矩阵),和AX=B其中我们注意到在3*3矩阵空间里的零向量是一个元素全\\为0的3*3矩阵.我们再观察到矩阵A里的自由向量的个数是为1,解Ax=0可得x\\会等价于提示给我们的那个向量,即c1*\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix},其中c1为常数,那么矩阵X里的每一列向\\量都会是x的线性组合,在矩阵空间里面,该零空间将会表示为\begin{matrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\end{matrix},\begin{matrix}0&1&0\\0&1&0\\0&1&0\end{matrix},\\\begin{matrix}0&0&1\\0&0&1\\0&0&1\end{matrix}这三个矩阵的线性组合.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ 要求矩阵A的“列空间”需要写6个矩阵这太烦了,我只给矩阵B的第一列向量\\如何被拆分为两个线性独立的矩阵,然后对其他列向量也是一样的道理,只不过系数\\还有位置不同而已.我们观察到矩阵A的秩为2,不如取其前两个列向量作为其列空间\\的基(这个在于说明v1和v2线性独立)，我们假设v1,v2,v3为其列向量,则观察到\\v3=-v1-v2,那么对于矩阵B的第一个列向量则可以表示为$c1v1+c2v2+c3v3=(c1-c3)v1+(c2-c3)v2$\\即矩阵B的第一个列向量(这个含义是此时矩阵B的其他两列向量全为0)可以被拆分\\为\begin{matrix}v1&0&0\end{matrix},\begin{matrix}v2&0&0\end{matrix}这个两个矩阵的线性组合,因为矩阵B总共有三个列向量,\\所以矩阵B总共可以被拆分为6个线性独立的矩阵.\\综上,矩阵A的“零空间”的维度是3,矩阵A的"列空间"的维度是6,为啥它们的维度\\之和加起来是9呢?因为3*((3-1)+1)=9\\ 31\ \ 记住C(A)不一定等于C(rref(A),然而rref(A)和A拥有相同的行空间,这表明rref(A)\\和A拥有相同的零空间.A和B拥有相同的四大基本子空间,这首先告诉我们F和G是两个规模\\一样大的矩阵(规模为r*(n-r)).其次告诉我们A,B所在的零空间相同.设向量x是矩阵A\\的零空间里的任意向量,由上述条件可得$$Ax=Bx=0$$\\即rref(A)x=rref(B)x=0,得N(rref(A))=\begin{matrix}-F\\I\end{matrix},\\得N(rref(B))=\begin{matrix}-G\\I\end{matrix},令X=\begin{matrix}-F\\I\end{matrix}则AX=BX=\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\\即得到\begin{matrix}F\\0\end{matrix}I=\begin{matrix}G\\0\end{matrix}I\\ \\得F=G$