HNFMS 2024.10.13 数学定一杯记录

文化课

被创死了，太有强度了

后四题待补

填空题

1.

$P=\{p|p=8a-12b,a,c\in \mathbb Z\},Q=\{q|q=16l+28t,l,t\in \mathbb Z\}$

问 $PQ$集合的关系

sol

$p=4(2a-3b),q=4(4l+7t)$

裴蜀定理易得两边 $2a-3b$ 和 $4l+7t$ 都可以配出 $1$，于是 $P$ 和 $Q$ 都是 $\{x|x=4k,k\in Z\}$

所以 $P=Q$

2.

设 $S=\{1,2,3,...,2024\}$，记 $B$ 为 $S$ 中 $3$ 的倍数组成集合，$C$ 为 $S$ 中 $5$ 的倍数组成集合，问 $B\cup C$ 中有多少个元素

sol

容斥，答案就是 $\lfloor \frac{2024}{3}\rfloor+\lfloor\frac{2024}{5}\rfloor-\lfloor\frac{2024}{15}\rfloor=944$

3.

设实数 $x,y,z$ 满足 $y+2z=8-6x+3x^2，y+x=3-x+x^2$，比较 $x,y,z$ 大小

sol

计算可得 $x\lt z\lt y$

4.

若集合 $\{a,b,c,d\}=\{1,2,3,4\}$，且以下四个关系有且只有一个成立，则满足条件的有序对有几个

条件：$1.a=1,2.b\neq 1,3.c=2,4.d\neq 4$

sol

枚举即可，答案是 $6$

5.

$a,b\in R^+$，问 $\min(a,\frac{2b}{a^2+9b^2})$ 最大时， $a-b=$

sol

显然要求原式最大需要 $\frac{2b}{a^2+9b^2}$ 最大，则需要 $\frac{2b}{a^2+9b^2}=\frac{2}{\frac{a^2}{b}+9b}\le\frac{1}{3a}，a=3b$，画图可知 $a=\frac{\sqrt 3}{3}$ 最小，则 $a-b=\frac{2\sqrt 3}{9}$

解答题

6.

已知这么个 $f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a)$

(1) $a=1$ 时求 $f(x)\lt 0$ 的解集

(2) 若 $x\in(-\infty,1]$ 都满足 $f(x)\le 0$

求 $a$ 取值范围

sol

(1) 简单分类讨论即可，不多讲述，解集为 $\{x|x\lt 1\}$

(2) 稍微有点意思，适合作为必要性探路的入门题

考虑带入端点 $x=1$，可得 $|1-a|\le -(1-a)$，易知 $1-a\le 0$， 所以 $a\ge 1$ 为原条件成立的必要条件

下证其充分性：

$a=1$ 显然充分，考虑 $a>1$ 的情况

原不等式可以化为 $\frac{x}{|x-2|}=-1-\frac{2}{x-2}\le -\frac{(x-a)}{|x-a|}=1$,

然后 $\frac{2}{x-2}$ 的单调性显然，此式显然成立

所以 $a\ge 1$ 是原条件的充要条件

所以 $a\ge 1$