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@guoxs 2016-01-08T01:20:55.000000Z 字数 6025 阅读 4968

数据结构之图的存储方式

数据结构与算法


二、图的抽象数据类型

  1. ADT 图(Graph)
  2. Data
  3. 顶点的有穷非空集合和边的集合。
  4. Operation
  5. CreateGraph(*G, V, VR): 按照顶点集V和边弧集VR的定义构造图G
  6. DestroyGraph(*G): G存在则销毁。
  7. LocateVex(G, u): 若图G中存在顶点u,则返回图中的位置。
  8. GetVex(G, v): 返回图G中顶点v的值。
  9. PutVex(G, v, value): 将图G中顶点v赋值value
  10. FirstAdjVex(G, *v): 返回顶点v的一个邻接顶点,若顶点在G中无邻接顶点返回空。
  11. NextAdjVex(G, v, *w): 返回顶点v相对于顶点w的下一个邻接顶点,
  12. wv的最后一个邻接点则返回“空”。
  13. InsertVex(*G, v): 在图G中增添新顶点v
  14. DeleteVex(*G, v): 删除图G中顶点v及其相关的弧。
  15. InsertArc(*G, v, w): 在图G中增添弧<v,w>,若G是无向图,还需要增添对称弧<w,v>。
  16. DeleteArc(*G, v, w): 在图G中删除弧<v,w>,若G是无向图,则还删除对称弧<w,v>。
  17. DFSTraverse(G): 对图G中进行深度优先遍历,在遍历过程对每个顶点调用。
  18. HFSTraverse(G): 对图G中进行广度优先遍历,在遍历过程对每个顶点调用。
  19. endADT

三、图的存储结构

3.1 邻接矩阵

图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成。合在一起比较困难,那就很自然地考虑到分两个结构来分别存储。顶点不分大小、主次,所以用一个一维数组来存储是很不错的选择。而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系,一维搞不定,那就考虑用一个二维数组来存储。这就诞生了邻接矩阵。

设图G有n个顶点,则邻接矩阵是一个n×n的方阵,定义为:


无向图的邻接矩阵:
邻接矩阵

线

根据这个矩阵, 可以知道很多信息:

有向图的邻接矩阵:
有向图的邻接矩阵

但因为是有向图,所以此矩阵并不对称,比如由v1到v0有弧,得到,而v0到v1没有弧,因此
有向图讲究入度与出度,顶点v1的入度为1,正好是第v1列各数之和。顶点v1的出度为2,即第v1行的各数之和。
与无向图同样的办法,判断顶点vi到vj是否存在弧,只需要查找矩阵中是否为1即可。要求vi的所有邻接点就是将矩阵第i行元素扫描一遍,查找为1的顶点。

网的邻接矩阵:
设图G是网图,有n个顶点,则邻接矩阵是一个n×n的方阵,定义为:
这里表示上的权值。∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值,也就是一个不可能的极限值。不为0的原因在于权值大多数情况下是正值,但个别时候可能就是0,甚至有可能是负值。因此必须要用一个不可能的值来代表不存在。下就是一个有向网图,右图就是它的邻接矩阵。
网的邻接矩阵

  1. /* 顶点类型应由用户定义 */
  2. typedef char VertexType;
  3. /* 边上的权值类型应由用户定义 */
  4. typedef int EdgeType;
  5. /* 最大顶点数,应由用户定义 */
  6. #define MAXVEX 100
  7. /* 用65535来代表∞ */
  8. #define INFINITY 65535
  9. typedef struct
  10. {
  11. /* 顶点表 */
  12. VertexType vexs[MAXVEX];
  13. /* 邻接矩阵,可看作边表 */
  14. EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];
  15. /* 图中当前的顶点数和边数 */
  16. int numVertexes, numEdges;
  17. } MGraph;

无向网图的创建代码:

  1. /* 建立无向网图的邻接矩阵表示 */
  2. void CreateMGraph(MGraph *G)
  3. {
  4. int i, j, k, w;
  5. printf("输入顶点数和边数:\n");
  6. /* 输入顶点数和边数 */
  7. scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);
  8. /* 读入顶点信息,建立顶点表 */
  9. for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
  10. scanf(&G->vexs[i]);
  11. for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
  12. for (j = 0; j <G->numVertexes; j++)
  13. /* 邻接矩阵初始化 */
  14. G->arc[i][j] = INFINITY;
  15. /* 读入numEdges条边,建立邻接矩阵 */
  16. for (k = 0; k < G->numEdges; k++)
  17. {
  18. printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j和权w:\n");
  19. /* 输入边(vi,vj)上的权w */
  20. scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w);
  21. G->arc[i][j] = w;
  22. /* 因为是无向图,矩阵对称 */
  23. G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
  24. }
  25. }

从代码中也可以得到,n个顶点和e条边的无向网图的创建,时间复杂度为,其中对邻接矩阵G.arc的初始化耗费了的时间。

3.2 邻接表

邻接矩阵对于边数相对顶点较少的图,存在对存储空间的极大浪费的现象。因此这种存储方式对于稀疏图来说不是很合适。借鉴于线性表的解决方案,可以考虑对边或弧使用链式存储的方式来避免空间浪费的问题。

使用数组与链表相结合的存储方式,就诞生了邻接表(Ad-jacency List)。

邻接表

邻接表的处理办法是这样:
1. 图中顶点用一个一维数组存储,当然,顶点也可以用单链表来存储,不过数组可以较容易地读取顶点信息,更加方便。另外,对于顶点数组中,每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针,以便于查找该顶点的边信息。
2. 图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表,由于邻接点的个数不定,所以用单链表存储,无向图称为顶点vi的边表,有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表

顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示,data是数据域,存储顶点的信息,firstedge是指针域,指向边表的第一个结点,即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域,存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标,next则存储指向边表中下一个结点的指针。比如v1顶点与v0、v2互为邻接点,则在v1的边表中,adjvex分别为v0的0和v2的2。

有向图的邻接表:
有向图邻接表

有向图由于有方向,以顶点为弧尾来存储边表,这样就很容易就可以得到每个顶点的出度。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧,可以建立一个有向图的逆邻接表,即对每个顶点vi都建立一个链接为vi为弧头的表。如上图的第三幅图所示。

网图的邻接表
对于带权值的网图,可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域,存储权值信息即可,如下图:

网图邻接表

  1. /* 顶点类型应由用户定义 */
  2. typedef char VertexType;
  3. /* 边上的权值类型应由用户定义 */
  4. typedef int EdgeType;
  5. /* 边表结点 */
  6. typedef struct EdgeNode
  7. {
  8. /* 邻接点域,存储该顶点对应的下标 */
  9. int adjvex;
  10. /* 用于存储权值,对于非网图可以不需要 */
  11. EdgeType weight;
  12. /* 链域,指向下一个邻接点  */
  13. struct EdgeNode *next;
  14. } EdgeNode;
  15. /* 顶点表结点 */
  16. typedef struct VertexNode
  17. {
  18. /* 顶点域,存储顶点信息 */
  19. VertexType data;
  20. /* 边表头指针 */
  21. EdgeNode *firstedge;
  22. } VertexNode, AdjList[MAXVEX];
  23. typedef struct
  24. {
  25. AdjList adjList;
  26. /* 图中当前顶点数和边数 */
  27. int numVertexes, numEdges;
  28. } GraphAdjList;

无向图的邻接表创建代码如下:

  1. /* 建立图的邻接表结构 */
  2. void CreateALGraph(GraphAdjList *G)
  3. {
  4. int i, j, k;
  5. EdgeNode *e;
  6. printf("输入顶点数和边数:\n");
  7. /* 输入顶点数和边数 */
  8. scanf("%d,%d", &G->numVertexes,
  9. &G->numEdges);
  10. /* 读入顶点信息,建立顶点表 */
  11. for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
  12. {
  13. /* 输入顶点信息 */
  14. scanf(&G->adjList[i].data);
  15. /* 将边表置为空表 */
  16. G->adjList[i].firstedge = NULL;
  17. }
  18. /* 建立边表 */
  19. for (k = 0; k < G->numEdges; k++)
  20. {
  21. printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");
  22. /* 输入边(vi,vj)上的顶点序号 */
  23. scanf("%d,%d", &i, &j);
  24. /* 向内存申请空间, */
  25. /* 生成边表结点 */
  26. e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
  27. /* 邻接序号为j */
  28. e->adjvex = j;
  29. /* 将e指针指向当前顶点指向的结点 */
  30. e->next = G->adjList[i].firstedge;
  31. /* 将当前顶点的指针指向e */
  32. G->adjList[i].firstedge = e;
  33. /* 向内存申请空间, */
  34. /* 生成边表结点 */
  35. e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
  36. /* 邻接序号为i */
  37. e->adjvex = i;
  38. /* 将e指针指向当前顶点指向的结点 */
  39. e->next = G->adjList[j].firstedge;
  40. /* 将当前顶点的指针指向e */
  41. G->adjList[j].firstedge = e;
  42. }
  43. }

本算法的时间复杂度,对于n个顶点e条边来说,很容易得出是O(n+e)。

3.3 十字链表

那么对于有向图来说,邻接表是有缺陷的。关心了出度问题,想了解入度就必须要遍历整个图才能知道,反之,逆邻接表解决了入度却不了解出度的情况。

把邻接表与逆邻接表结合起来,这就是十字链表(Orthogonal List)。

顶点表结点结构:data —— firstin(入边表头指针) —— firstout(出边表头指针)
边表结点结构
边表结点结构

其中tailvex是指弧起点在顶点表的下标,headvex是指弧终点在顶点表中的下标,headlink是指入边表指针域,指向终点相同的下一条边,taillink是指边表指针域,指向起点相同的下一条边。如果是网,还可以再增加一个weight域来存储权值。

如下图:
十字链表

虚线箭头其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说,它有两个顶点v1和v2的入边。因此v0的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点,如上图中的①。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2,如图中的②。对于顶点v1,它有一个入边顶点v2,所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点,如图中的③。顶点v2和v3也是同样有一个入边顶点,如图中④和⑤。

十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在了一起,这样既容易找到以vi为尾的弧,也容易找到以vi为头的弧,因而容易求得顶点的出度和入度。而且它除了结构复杂一点外,其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的,因此,在有向图的应用中,十字链表是非常好的数据结构模型。

3.4 邻接多重表

如果在无向图的应用中,关注的重点是顶点,那么邻接表是不错的选择,但如果更关注边的操作,比如对已访问过的边做标记,删除某一条边等操作,却是比较繁琐的。因此可以仿照十字链表的方式,对边表结点的结构进行一些改造。
重新定义的边表结点结构:
邻接多重表

其中ivex和jvex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。ilink指向依附顶点ivex的下一条边,jlink指向依附顶点jvex的下一条边。这就是邻接多重表结构。

邻接多重表构造过程
① 先把顶点与边表节点画出;如下图,由于是无向图,所以ivex是0、jvex是1还是反过来都是无所谓的,不过为了绘图方便,都将ivex值设置得与一旁的顶点下标相同。
邻接多重表
② 开始连线,首先连线的①②③④就是将顶点的firstedge指向一条边,顶点下标要与ivex的值相同;
邻接多重表
③ 接着,由于顶点v0的(v0,v1)边的邻边有(v0,v3)和(v0,v2)。因此⑤⑥的连线就是满足指向下一条依附于顶点v0的边的目标,注意ilink指向的结点的jvex一定要和它本身的ivex的值相同。
④ 同样的道理,连线⑦就是指(v1,v0)这条边,它是相当于顶点v1指向(v1,v2)边后的下一条。v2有三条边依附,所以在③之后就有了⑧⑨。连线⑩的就是顶点v3在连线④之后的下一条边。
左图一共有5条边,所以右图有10条连线,完全符合预期。

邻接多重表与邻接表的差别,仅仅是在于同一条边在邻接表中用两个结点表示,而在邻接多重表中只有一个结点。这样对边的操作就方便多了,若要删除左图的(v0,v2)这条边,只需要将右图的⑥⑨的链接指向改为∧即可。

3.5 边集数组

边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储顶点的信息;另一个是存储边的信息,这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标(begin)、终点下标(end)和权(weight)组成,如下图:
边集数组

边集数组关注的是边的集合,在边集数组中要查找一个顶点的度需要扫描整个边数组,效率并不高。因此它更适合对边依次进行处理的操作,而不适合对顶点相关的操作。

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