ch1 线性代数中的线性方程组 ‘线性代数及其应用笔记’

具体数学

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1.1 线性方程组

线性方程组：包含一个或几个有相同变量的线性方程
解集：方程组所有可能的解的集合
若两个方程组解集相同，那么就可以说这两个方程组等价
线性方程组的解有三种情况
1. 无解
2. 有唯一解
3. 有无数解
其中1，3称为方程组相容，2称为方程组不相容
将方程组中未知数前系数提取出来的得到的矩阵称为系数矩阵，系数矩阵加上方程组右边的常数列就成了增广矩阵。

线性方程组解法
基本思路是把方程组用一个更加容易求解的方程组代替

在求解中会用到下列变换：
行初等变换：
1. 倍加变换 把某一行换成它本身与另一行的倍数的和
2. 对换变换 把两行对换
3. 倍乘变换 把某一行所有元素乘以同一个非零数
若一个矩阵可以经一系列初等变换成为另一个矩阵，那么我们称他们行等价。
初等行变换是等价的，两个行等价的增广矩阵代表的线性方程组同解。

1.2 行化简和阶梯形矩阵

阶梯形矩阵

满足以下条件
1. 每一非零行在每一零行之上
2. 某一行的先导元素所在列位于前一行先导元素右边
3. 某一先导元素所在列下方元素都是零。

简化阶梯行

满足以下条件的阶梯形矩阵
1. 每一非零行的先导元素是1
2. 每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。

定理 每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。
大部分矩阵程序用RREF表示行阶梯形的缩写。

主元位置

矩阵所对应的阶梯形中先导元素的位置，主元列是含有主元位置的列。

行化简算法：

1. 从最左非零列开始，这是一个主元列，主元位置在该列顶端。
2. 在主元列中选取一个非零元作为主元，若有必要，对换两行使元素移到主元位置。
3. 用倍加行变换将主元下面元素变为0.
4. 暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述三个步骤直到没有非零行需要处理。
5. 从最右边的主元开始，把主元上方各个元素变成0。

线性方程组的解
对英语主元列的变量称为基本变量，其他变量称为自由变量。
比如

$$x_1 \ -5x_3=1\\\\x_2+x_3=4\\\\0=0$$
那么$x_1,x_2$就是基本变量，其他变量就是自由变量（可以取任意的值），当 自由变量的值确定后，就可以确定基本变量的值了。指出自由变量以及基本变量和自由变量之间关系的解就是通解，因为他给出了所有解的显示表示。

得到阶梯形后虽然还不能解方程组，但是可以回答方程组解的存在和唯一性问题了。

定理（存在和唯一性定理）

线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列，也就是说增广矩阵的阶梯形没有形如
$$[0\cdots 0 \ b]\ b\not= 0$$ 的行。若线性方程组相容，它的解集可能有两种情形
1. 当没有自由变量时，有唯一解
2. 若至少有一个自由变量，有无穷多解

所以应用行化简算法解线性方程组的步骤如下：

1. 写出方程组的增广矩阵
2. 应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形，确定方程组是否有解，如果没有解则停止，否则进行下一步
3. 继续行化简算法得到它的简化阶梯形
4. 写出由第三步所得矩阵所对应的方程组
5. 把第四步所得到的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式

1.3 向量方程

仅含一列的矩阵叫向量。$\mathbb{R}^2$中向量含有两个元素，当且仅当元素对应相等时两个向量相等。
我们称$\mathbb{R}^2$中的向量是实数的有序对，而相应的$\mathbb{R}^n$就叫做有序n元组。
向量代数性质如下：

$$对于\mathbb{R}^n中一切向量u，v，w及标量c和d\\ (1)u+v = v+u \quad(2)(u+v)+w=u+(v+w)\\ (3)u+0=0+u=u\quad(4)u+(-u)=0\\ (5)c(u+v)=cu+cv\quad(6)(c+d)u=cu+du\\ (7)c(du)=(cd)u\quad(8)1u=u$$

给定向量和标量，那么向量$y=c_1v_1+\cdots+c_pv_p$称为向量$v_1...v_p$以$c_1...c_p$为权的线性组合
向量方差$x_1a_1+...+x_na_n=b$和增广矩阵$[a_1\ a_2\cdots a_n\ b]$的线性方程组有相同的解集。
若$v_1...v_p$是$\mathbb{R}^n$中的向量，那么他们所有线性组合所组成的集合用记号$Span\{v_1,v_2...v_p\}$表示，称为这些向量所生成的$\mathbb{R}$的子集

1.4 矩阵方程Ax=b

A为$m\times n$的矩阵，x是n维向量，Ax为一个线性组合。

$$矩阵方程：Ax=b\\\\向量方程x_1a_1+...+x_na_n=b\\\\增广矩阵[a_1\ a_2\cdots a_n\ b]的线性方程组\\\\有相同的解集。$$

定理

设A是$m\times n$的矩阵，则下列命题逻辑等价
a. 对$\mathbb{R}^n$中每个b，方程Ax=b有解
b. $\mathbb{R}^n$中每一个b都是A的列的一个线性组合
c. A的各列生成$\mathbb{R}^n$
d. A在每一行都有一个主元位置

1.5 线性方程组的解集

若线性方程组可以写成Ax=0的形式，那么称之为齐次线性方程组，这样的方程组至少有x=0这一个解，该解称为平凡解。当该方程至少有一个自由变量时，齐次方程有非平凡解，其通解可以写为向量形式$x=tv\quad t$为实数。
对于 非齐次线性方程组 Ax=b，解可以写为$x=tv+p\quad t$为实数，可以由Ax=0的解加上p得到，向量p本身也是Ax=b的特解。
以上的表示法，称为参数向量表示，t为自由变量。

1.7 线性无关

若向量方程$x_1v_1+x_2v_2+\cdots+x_pv_p=0$仅有平凡解，则这组向量$v_1,...,v_p$线性无关，若存在$x_1..x_p$不全为零，则称其线性相关。
当方程Ax=0仅有平凡解时，矩阵的各列线性无关。 当向量组中至少有一个向量是其他向量的线性组合时，向量组线性相关。
定理：一个向量组的向量个数超过每个向量元素个数时，向量组线性相关。包含零向量的向量组线性相关。

1.8 线性变换介绍

从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$的一个变换（或称函数，映射）T是一个规则，它把$\mathbb{R}^n$中每个向量x对应以$\mathbb{R}^m$中的一个向量T(x)。$\mathbb{R}^n$就是定义域，$\mathbb{R}^m$就是取值空间（余定义域），T(x)的集合称为值域。

对于变换T，若$T(u+v)=T(u)+T(v)且T(cu)=cT(u)$，那该变换我们就称之为线性变换。

1.9 线性变换的矩阵

每个线性变换都是矩阵变换，线性变换强调映射的性质而矩阵变换藐视这样的映射如何实现。所以线性变换可以用矩阵T来唯一地表示。

满射：

从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$的映射，满足$\mathbb{R}^m$任一b都至少有一个$\mathbb{R}^n$中的x与之对应。

单射：

$\mathbb{R}^m$中每个b是$\mathbb{R}^n$中至多一个x的像。 当且仅当Ax=0仅有平凡解（线性无关）时,变换T为单射。

心得拾遗

1. 主元列个数就是矩阵的秩啦

错题摘录

1. 补充习题1.7 考虑下面问题，确定方程组是否对任意$b_1,b_2,b_3$相容
   

   $$2x_1-4x_2-2x_3=b_1 \\ -5x_1+x_2+x_3=b_2\\ 7x_1-5x_2-3x_3=b_3$$
   c.定义矩阵A，并用适当线性变换T，用T的术语重述问题。

   错解:
   定义

   $$A=\begin{bmatrix} 2&-4&-2\\ -5&1&1\\ 7&-5&-3\end{bmatrix}$$
   对于所有b，总有矩阵T使AT=b。

   正解： 定义T(x)=A,判断T是否将$\mathbb{R}^3$映射到$\mathbb{R}^3$。
   错误原因：这里着重的是线性变换而不是矩阵运算，把二者搞混了。

2. 补充习题1.15
   向量组[a 0 0],[b c 0],[d e f]线性无关，数a...f有何特征。

   错解 : a c f 中至少有一个为0。

正解：a c f 全为0。
原因：若向量组中有0向量，则向量组线性相关，所以a不为0，同时，若c为0，则有互为倍数的列，若f为零则第三列为前两列的线性组合。