第八次作业

摘要

通过Euler-Cromer方法编写程序，研究了非线性情况下的单摆运动规律，程序中忽略阻尼的影响，并且没有加入驱动力。

正文

分析单摆的受力情况，运用牛顿第二定律可以得出它的运动方程
$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta$
式中$\theta$为单摆摆过的角度，$g$为重力加速度，$l$为摆线长度。
而对于角速度$\omega$有方程
$\frac{d\theta}{dt}=\omega$
联立上两个方程组可以得到
$\begin{cases} \frac{d\omega}{dt}=-\frac{g}{l}sin\theta\\ \frac{d\theta}{dt}=\omega \end{cases}$
通过Euler-Cromer方法将这个方程组使用在程序中，可化为递推式
$\begin{cases} \omega_{i+1}=\omega_{i}-\frac{g}{l}sin\theta_{i}\Delta t\\ \theta_{i+1}=\theta_{i}+\omega_{i}\Delta t\\ t_{i+1}=t_i+\Delta t \end{cases}$
通过设定一些初始值，利用上面的递推式可以得到在这种初值条件下一系列时刻的$\theta$和$\omega$值，通过这些散点可以画出$\theta-t$图、$\omega-t$图以及出$\omega-\theta$图。

程序代码

首先，我设定摆线长度为1.0m,总时间为10s，$dt=0.04s$。因为单摆最大振幅取决于释放的初始角度，所以通过改变初始角度来改变最大振幅。先设定初始角度为0.2rad，得到如下的$\theta-t$图：

这个曲线图实际上与做了线性近似后得到的图没有大的区别，这是因为设定的初始角度为0.2rad，单摆的振幅处于一个较小的范围内，所以近似关系$sin\theta\approx\theta$可以较好的成立。然后我们可以加大初始角度，比如设定初始角度为0.5rad，可以得到下面的曲线：

对比上面两张图可以发现，在非线性情况下，改变初始角度后，单摆的周期会发生变化。这与简谐近似后的单摆是不同的，角度较小时通过近似关系$sin\theta\approx\theta$得到的方程可以求出周期为$T=\sqrt{\frac{l}{g}}$,能够看出这种情况下周期是与初始角度无关的。为了更直观的看出差异，我们可以进一步加大初始角度，令初始角度为1.0rad，可以得到下面这张曲线图：

对比上面三张图，初始条件中只有初始角度不同，可以看出随着初始角度的增大，单摆的周期也会变大。也就是说随着单摆最大振幅的增大，它的周期也随之增大。实际上，这与我们的直观感觉相同。

结论

通过这个程序研究非线性情况下单摆振幅和周期的关系，随着单摆最大振幅的增大，单摆的周期也随之变大。由于没有考虑阻尼和驱动力，所以单摆的运动仍然为一种周期性运动。