Lorenz 系统中参数的分析及其发展

阮文洪 2013301020026 彭桓武班
摘要：通过Runge-Kutta方法近似，利用程序模拟Lorenz系统，分析三个参数对系统发生混沌现象的影响，并用类似的方法做出了一些其他混沌系统的奇异吸引子。

Ⅰ.介绍

E. N. Lorenz是著名气象学家，他在简单的数学模型中发现了“混沌现象”，也被称为“蝴蝶效应”。Lorenz教授在1963年提出了Lorenz模型，这个模型是在研究两平行板间的热对流时提出的。列出两平行板间热对流的流体力学方程后，经过一系列简化后可以得到所谓的Lorenz方程。Lorenz方程描述的就是Lorenz系统，通过这个Lorenz模型我们可以发现混沌现象。Lorenz方程中有三个参数，设为b、r、a(原本设为σ、r、b），这三个参数都对Lorenz方程的解产生影响，是否发生混沌现象也与这三个参数的取值有关。并且自提出Lorenz系统后又陆续提出了一些其他混沌系统，它们与Lorenz系统有区别但又有联系。

Ⅱ.正文

由最初的流体力学方程经过一系列简化后的Lorenz方程为【1】:
$\frac{dx}{dt}=b(y-x)$
$\frac{dy}{dt}=-xz+rx-y$
$\frac{dz}{dt}=xy-az$
然后可以用Runge-Kutta方法来处理这三个方程，设t为任意时刻，那么利用Runge-Kutta方法有
$x(t+\Delta t)=x(t)+f_x(x',y',z',t')\Delta t$
$y(t+\Delta t)=y(t)+f_y(x',y',z',t')\Delta t$
$z(t+\Delta t)=z(t)+f_z(x',y',z',t')\Delta t$
其中
$x'=x(t)+\frac{1}{2}f_x(x,y,z,t)\Delta t$
$y'=y(t)+\frac{1}{2}f_y(x,y,z,t)\Delta t$
$z'=z(t)+\frac{1}{2}f_z(x,y,z,t)\Delta t$
$t'=t+\frac{1}{2}\Delta t$
上面六个式子中的$f_x(x,y,z,t),f_y(x,y,z,t),f_z(x,y,z,t)$分别为：
$f_x(x,y,z,t)=\frac{dx}{dt}=b (y-x)$
$f_z(x,y,z,t)=\frac{dy}{dt}=-xz+rx-y$
$f_x(x,y,z,t)=\frac{dz}{dt}=xy-az$
利用上面的式子编写程序，设定好初始值后就可以通过不断迭代得到一段时间T内的许多散点(x,y,z),利用这些散点进行作图拟合就可以对Lorenz模型进行各种分析。

画Lorenz模型时域图像代码为程序代码1
画Lu模型相空间3D图像代码为程序代码2

一、Lorenz模型参数的分析

1.r取值分析
为了研究r值的变化对模型的影响，遵循Lorenz在1963年做的设定，使$b=10,a=8/3$。设定x的初值为1，y、z的初值为0，时间间隔为0.0001，总时间为50。分别令$r=5,10,25$得到下列图像

比较r=5与r=10的图像，可以发现z值在经过一段较短时间的振幅逐渐减弱的振动后变为了一个不为0的常数。而r=25时z值一直在进行振动，无法恒定在一个常数，可看作是在一个中心值附近上下振动，并且振动的振幅变化难以预测。
根据上面的模拟，可以把这三种情况都归为z值在一个中心值附近上下振动，r值的变化影响中心值的大小和振幅的变化规律，并且r越大，中心值越大。存在某一临界值$r_0$，在$r<r_0$时,z值振幅逐渐减弱直至变为一个常数；$r>r_0$时，发生混沌现象。根据相关理论【2】,$r_0=b\frac{b+a+3}{b-a-1}$,代入$b=10,a=8/3$得$r_0=24.1$。但程序模拟结果为24.1左右，这应该是由于程序通过近似方法处理方程从而产生误差。
利用程序算出的数据点同样可以得到相空间的图像，使用相同的初始条件，但时间间隔改为0.01做出三维图像如下

从r=5与r=10时相空间的图像可以看出曲线不断向内螺旋最后变为一个点，也就是z值最后变为一个恒定的值。而r=25时相空间的图像呈现出一种类似蝴蝶的形状，z值在左边部分不断旋进后又会跑到另一边不断旋进，一直这样运动下去。从这三张图也可看出r越大，z值振动的中心值越大，相空间图与时域图相对应，体现了相同的规律。

2.b取值分析
在分析b时仍取$a=8/3$，设定x的初值为1，y、z的初值为0，时间间隔为0.0001。
先使$r<r_0$,此时变换b值作图，都无法出现混沌现象，z值都在经过一段时间的振幅逐渐减弱的振动后变为了一个不为0的常数，图像如下（取$b=6.9544$为例）

通过取许多的b值做图发现随着b值的增大，z值从振动到变为一个常数所需的时间会不断减少。
再使$r<r_0$，然后取一系列的b值做图，发现可以出现混沌现象，但如果要发生混沌现象，那么b值得取值要限定在一个区间内。取r=25时，设定x的初值为1，y、z的初值为0，时间间隔为0.0001，通过对许多b值的试探性做图，得到这个区间的下界在6.9543到6.9544之间，上界在12.4826到12.4827之间。为了更明显地看出规律，将总时间变为300s，做出$b=6.9543，6.9544$的时域图如下

从上面两幅图可以看出，b=6.9543时z值经过一段时间的振动，最后还是变为了一个常数，而b=6.9543时发生了混沌现象，由此可看出区间下界在这两个值之间。然后将总时间变为500s，做出b=12.4826，12.4827的时域图如下

从上面两幅图可以看出，b=12.4826时发生了混沌现象，而b=12.4827时z值经过一段时间的振动，最后变为了一个常数。由此可见区间的上界在这两个值之间。这几幅图也充分体现了Lorenz系统对参数的敏感性。
在发生混沌现象所要求的b值的区间之外取值，可以发现这种情况下b值得作用是影响z值变为一个常数的时间。在区间下界以下的取值，b值越小，z值变为一个常数的时间越短；在区间上界以上的取值，b值越大，z值变为一个常数的时间越短。

3.$a$取值分析
在分析$a$时仍取$b=10$，设定x的初值为1，y、z的初值为0，时间间隔为0.0001。
同样先使$r<r_0$，此时取不同的$a$值都无法发生混沌现象，z值得时域图像与讨论$r<r_0$时$b$取值得到的图像相同。这里z值也是在经过一段时间的振幅逐渐减弱的振动后变为了一个不为0的常数，$a$越大，振幅逐渐减弱至0的时间越短，与$b$的影响相同。
再使$r>r_0$，依然选取一系列$a$值做图，可以发现如果要发生混沌现象，a值存在一个上界。取r=25时，设定x的初值为1，y、z的初值为0，时间间隔为0.0001，测试多组数据得出此时这个上界在2.8到2.9之间。做出$a=2.8，2.9$的时域图如下

从上面两幅图可以很明显看出这个上界位于2.8到2.9之间，从上界不断增大$a$值做图发现$a$值越大z值变为一个常数的时间越短。从上界不断减小$a$值做图都出现了混沌现象，但是这期间出现了两种图像，两种图像间应该存在一个零界值$a_0$。同样的初始值设定，取$a=2$做出图像如下

这个图与前面的发生混沌效应时的图像是相同的。再取$a=0.3$做出图像如下

此时得到的混沌效应图像和原先得到的都不相同。为了更明显地看出两者的不同，可以比较它们的x-t图，分别做出$a=2，0.3$的x-t图如下

可以发现$a=2$时x值得变化没有明显周期性；而$a=0.3$时，经过开始的一段时间后，x值的变化曲线呈现出一种周期性。这种差异说明两者的混沌效应相空间曲线确实是不同的，两者的性质应该也存在一定的差异。

二、推广与发展

Lorenz系统在混沌理论、动态系统以及混沌控制与同步领域被广为研究，但人们可能疑惑是否Lorenz系统仅仅是幸运地被发现的一个孤立的例子，还是在这个令人惊喜的混沌系统周围还有可能发现一些其它相关的混沌系统。
Chen于1999年在混沌系统的反控制(或称为混沌化)的研究中发现了一个新的系统，随后，该系统被其他研究者称为Chen系统。这个新的系统可以描述为
$\frac{dx}{dt}=b(y-x)$
$\frac{dy}{dt}=(c-b)x-xz+cy$
$\frac{dz}{dt}=xy-az$
其中，$a,b,c$是实参数。尽管这个系统与Lorenz系统有相似的结构，但它们是拓扑不等价的。
在2002年，Lu和Chen进一步发现了一个混沌系统，此处称之为Lu系统，这个系统可以描述为
$\frac{dx}{dt}=b(y-x)$
$\frac{dy}{dt}=-xz+cy$
$\frac{dz}{dt}=xy-az$
其中，$a,b,c$是实参数。
在Celikovsky 和Vanecek意义下，Chen系统被证明是Lorenz系统的对偶系统：如果把这种类型的系统写成线性部分Ax和二次型部分$f(x)$的和，即：$\frac{dx}{dt}=Ax+f(x)$,其中$A=[a_{ij} ]_{(3×3)}$,则对于线性部分，Lorenz系统满足$a_{12} a_{21}>0$，而Chen系统满足$a_{12} a_{21}<0$。Lu系统满足$a_{12} a_{21}=0$，代表了Lorenz系统和Chen系统之间的转换。【3】
将模拟Lorenz系统的程序进行一些改动就可用来模拟Chen系统和Lu系统。分别做出Chen系统和Lu系统的奇异吸引子如下


这两幅图与开始画的Lorenz模型的奇异吸引子比较，可以发现三者互不相同但却存在联系。值得一提的是,采用初始条件$x=1,y=z=0$时能做出Chen系统的奇异吸引子，但Lu系统只能做出一条直线。采用$x=1,y=0,z=0.1$的初始条件做出了上面给出的Lu系统的奇异吸引子，这体现了混沌系统对初值的敏感性。
后来，我们意识到应该存在着一大类一般的混沌系统——广义Lorenz系统族，它能把这些类似的混沌系统归为一类，通过对这个的研究，我们能够对混沌系统有更加深入的了解。

结论（致谢）

Lorenz系统中的三个参数对系统的混沌现象都有重要影响，这也体现了初值的微小变化对混沌系统长期行为的作用。Lorenz系统若要出现混沌现象，它的三个参数必须有一定的限制。并且混沌现象不是Lorenz系统特有的，存在着一系列的系统都能发生混沌现象，它们应该可以归为一个整体。对混沌现象的研究仍需人们的不断努力。
感谢所有本文中所引用内容的作者们，他们的研究对我提供了莫大的帮助。

Ⅳ.论文引用

【1】Nicholas J. Giordano, Hisao Nakanishi. Computational Physics[M].
【2】 Wikipedia.https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_system
【3】陈关荣。广义Lorenz系统及其规范式[C]//全国非线性振动学术会议，2004