第十次作业

摘要

大气学家E.N.Lorenz在1963年提出了关于现代混沌场的Lorenz模型。可以通过程序来研究Lorenz模型的性质，这个程序是把方程三个参数中的$\sigma$和$b$取为常数，探究参数$r$在这个模型中的作用。

正文

Lorenz简化了Navier-Stokes 的等式后得到下面三个方程
$\frac{dx}{dt}=\sigma (y-x)$
$\frac{dy}{dt}=-xz+rx-y$
$\frac{dz}{dt}=xy-bz$
为了研究$r$值的变化对模型的影响，遵循Lorenz在1963年做的设定，使$\sigma=10,b=8/3$。然后我们用Runge-Kutta方法来处理这三个方程，以此得到一系列的$x,y,z,t$值，然后利用这些值做出图像来研究Lorenz模型。
设t为任意时刻，利用Runge-Kutta方法有
$x(t+\Delta t)=x(t)+f_x(x',y',z',t')\Delta t$
$y(t+\Delta t)=y(t)+f_y(x',y',z',t')\Delta t$
$z(t+\Delta t)=z(t)+f_z(x',y',z',t')\Delta t$
其中
$x'=x(t)+\frac{1}{2}f_x(x(t),y(t),z(t),t)\Delta t$
$y'=y(t)+\frac{1}{2}f_y(x(t),y(t),z(t),t)\Delta t$
$z'=z(t)+\frac{1}{2}f_z(x(t),y(t),z(t),t)\Delta t$
$t'=t+\frac{1}{2}\Delta t$
上面六个式子中的$f_x(x(t),y(t),z(t),t),f_y(x(t),y(t),z(t),t),f_z(x(t),y(t),z(t),t)$分别为：
$f_x(x(t),y(t),z(t),t)=\frac{dx}{dt}=\sigma (y-x)$
$f_z(x(t),y(t),z(t),t)=\frac{dy}{dt}=-xz+rx-y$
$f_x(x(t),y(t),z(t),t)=\frac{dz}{dt}=xy-bz$
利用上面的式子就可以得到一系列散点来作图。
程序代码链接为：
程序代码1
利用这个程序，设定$x$的初值为1，$y$、$z$的初值为0，时间间隔为0.0001，总时间为50。先令$r=5$得到图像如下

从图像中可以看出$z$值在经过一段较短时间的振幅逐渐减弱的振动后变为了一个不为0的常数。然后令$r=10$可以得到如下图像：

这幅图像与$r=5$的图相比，可以发现$r=10$时$z$值依然是在经过一段较短时间的振幅逐渐减弱的振动后变为了一个不为0的常数，但这段时间比$r=5$时要长，并且最后达到的常数也比$r=5$时要大。
最后再令$r=25$得到如下图像：

这幅图与上两幅图相比，可以发现$z$值的变化规律发生了极大改变，这里的$z$值一直在进行振动，无法恒定在一个常数，可看作是在一个中心值附近上下振动，并且振动的振幅变化难以预测。
根据上面的模拟，可以把这三种情况都归为$z$值在一个中心值附近上下振动，$r$值的变化影响中心值的大小和振幅的变化规律，并且$r$越大，中心值越大。
然后我们可以利用程序作出相空间的图像，以$x$值为横轴，$z$值为纵轴。同样先令$r=5$可得到如下图像:

从图像可以看出曲线不断向内螺旋最后变为一个点，也就是$z$值最后变为一个恒定的值。
然后我们再令$r=10$得到如下图像：

这幅图反映了和上图相同的规律，只是曲线缩进为一个点所需的时间更长，并且这个点的位置更高，这与从$z-t$图得到的结论相同。
最后再令$r=25$得到图像如下：

这个图形清晰地表现出了当$r=25$时发生了混沌现象，曲线不会缩进为一个点，变化规律难以预测。从图像来看，以$x=0$为界，两边的漩涡状曲线也并不对称，左边的曲线更为密集一些