第九次作业

摘要

在单摆非线性的情况下引入了阻尼和驱动力，通过程序计算来研究受这些因素影响下的单摆的运动规律。

正文

假设引入的驱动力随时间呈正弦函数关系变化，也就是说有关系：
$F_{driving}=F_Dsin(\Omega_Dt)$
上式中，$F_D$为一个常数，$\Omega_D$为驱动力的角频率。可以令驱动力的方向始终垂直于摆线方向。而单摆运动过程中所受的阻力可以认为满足方程：
$F_{damp}=-q\frac{d\theta}{dt}$
对单摆进行受力分析，结合上面的两个式子通过牛顿第二定律可以得到如下动力学方程：
$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta--q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)$
我们可以把上面的方程变为方程组
$\begin{cases} \frac{d\omega}{dt}=-\frac{g}{l}sin\theta--q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)\\ \frac{d\theta}{dt}=\omega \end{cases}$
通过Euler-Cromer方法可以将上面的方程组变为如下可运用在程序中的递推式：
$\begin{cases} \omega_{i+1}=\omega_{i}+[-\frac{g}{l}sin\theta_i-q\omega_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i)]\Delta t\\ \theta_{i+1}=\theta_{i}+\omega_{i+1}\Delta t\\ t_{i+1}=t_i+\Delta t \end{cases}$
在程序中利用上面的递推式子可以计算出一系列的散点，利用这些散点可以作出所需要的图。下面是程序代码的链接：
程序代码
这段代码最后设定为作出$\omega-\theta$图，但经过一定的改动，同样可以作出其他所需要的图。并且在程序中我通过if语句把$\theta$值的范围设定为$(-\pi,\pi)$。

$\theta-t$图

先利用这段程序来研究驱动力的振幅$F_D$的大小对$\theta-t$图像的影响，现在设定如下的条件：$q=\frac{1}{2},l=g=9.8,\Omega_D=\frac{2}{3},dt=0.04,\theta(0)=0.2,\omega(0)=0$
然后在这个初始条件的基础上，令$F_D=0$可做出如下图像：

通过图像可以看到当$F_D=0$时，由与阻尼的存在使得单摆在进行了一段时间振幅逐渐减小的振动后后就停止了运动，这也与我们的生活经验相同
我们再令$F_D=0.5$可作出如下图像：

通过这个图像可以看出$F_D=0.5$时，单摆在经过较短的一段时间后会开始进行周期性的振动，从图中可看出运动的周期大致与驱动力的周期相同，也就是说驱动力趋向于使单摆的频率与其频率相同。那么如果我们进一步增大$F_D$,是否只会使振幅增大而并不会影响振动的频率？
再令$F_D=1.2$，通过程序得到如下图像

这幅图像呈现出一种无规则的运动，不仅没有周期性的表现，振动的幅度大小也是无规则变化，出现了混沌现象。
这三幅图说明，考虑阻尼的情况下，当不施加驱动力时，单摆会作振幅逐渐减小的振动，直至振幅为0；当驱动力较小时，单摆在较短的时间后做简谐振动；当驱动力大过一定程度时，单摆的运动出现混沌现象。

$\omega-t$图

按上面的三种情况，我们可以作出相应的$\omega-t$图像如下：



这三幅图像分别与上面三幅图对应，体现出了相同的运动规律。

$\theta-\omega$图

利用这个程序同样可作出相空间的曲线，这同样可以看出随$F_D$的增大而出现的混沌现象。
这里仍使用和上面相同的初始条件，先令$F_D=0.5$作出$\theta-\omega$图：

这个图可以看出和$\theta-t$图相同的运动规律，椭圆内部的一段曲线是表示单摆刚开始的不稳定的运动，然后就进入了简谐振动，相空间的曲线也就变成了椭圆的形状。
然后我们令$F_D=1.2$，来看看发生混沌现象后相空间的曲线会发生什么变化：

相空间的曲线也明显地表现出单摆的运动出现了混沌现象，曲线的形状不规则，没有周期性。

混沌现象后$F_D$的影响

从上面的结果可以知道$F_D$较大时，单摆的运动会出现混沌现象，那么出现混沌现象后进一步变化$F_D$的值，这又会对单摆的运动有什么影响？
我们仍采用上面的初始条件，不过把$dt$改为0.01，先设定$F_D=1.35$，作出图像如下：

通过这个图像，我们看到当$F_D$增大到1.35时，单摆的运动又呈现出周期性，但不是简谐振动。从图像上的数据可知此时单摆运动的周期与驱动力的周期近似。
然后继续增大$F_D$，使得$F_D=1.44$，得到图像如下：

通过图像可以看出此时单摆仍进行着周期性运动，不过此时单摆的周期约是驱动力周期的2倍。
我们再使$F_D$增大到1.465，得到图像如下：

此时单摆依旧做周期性运动，但周期约是驱动力周期的4倍。
我们从这三幅图可以看出，出现混沌现象后，继续增大$F_D$，单摆的运动由开始的完全无规律便得有规律，在我们设定的三个$F_D$值上，单摆已经变为进行周期性运动，并且随$F_D$的增大，单摆的周期变长。

总结

从本次程序模拟来看，在单摆非线性的情况下引入了阻尼和驱动力，其中驱动力的振幅大小对单摆的运动有复杂的影响。在驱动力的振幅从0开始增大的过程中，单摆由振幅逐渐减小的振动变为简谐振动，再发生混沌现象，最后又变为周期性运动。并且，单摆运动的周期也受到驱动力的振幅大小的影响。