莫比乌斯反演

数学

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引用

YYB：http://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7953803.html
YL：http://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/8250019.html
ZSY：http://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/8186224.html

一、基本内容

《组合数学》P142写了详细内容，这里简单提一下：

Step1 Mobius函数

定义：

$$\mu(d)=\begin{cases} 1\quad \quad \quad d=1\\ {(-1)}^r \quad d=p1p2p3...pr\\ 0\quad \quad \quad 其他\end{cases}$$

定理：

对于任意正整数n，恒有

$$\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases} 1 \quad n=1 \\ 0 \quad n>1 \end{cases}$$

证明：

$n$为$1$的时候很好证明，$n>1$的如下
首先$n$转化为$n'$，$n={p1}^{a1}{p2}^{a2}...{pk}^{ak}$,$n'=p1p2...pk$。
那么对于$d$有$n|d$那么$\mu(d)$无贡献，推出$\mu(n)=\mu(n')$
在$k$个质数中选$0$个（偶数个系数是$1$，由定义得）$+C(k,0)$，选$1$个（奇数个系数是$-1$）$-C(k,1)$，最后的式子就是（组合数公式）

$$C(k,0)-C(k,1)+C(k,2)-...\pm C(k,k)=0$$

Step2 Mobius反演

形式A：

$$g(x)=\sum_{d|x}f(d)$$
$$f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})g(d)$$

形式B：

$$g(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)$$
$$f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{d}{x})g(d)$$
这里给出形式$A$的证明

证明：

$$f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})\sum_{d'|d}f(d')$$
对于每一个$f(d')$，如果说它要被计算到，那么一定存在一个$d$使得$d|x$且$d'|d$
那么就是$\frac{x}{d'}|\frac{x}{d}$，被计算的次数是$\mu(\frac{x}{d})$
$$f(x)=\sum_{d'|x}f(d')\sum_{\frac{x}{d'}|\frac{x}{d}}\mu(\frac{x}{d})$$
然后由上面的定理得出当且仅当$\frac{x}{d}$为$1$时$\mu(\frac{x}{d})$不为$0$，为$1$，进而
$$x=d,f(x)=\sum_{d'|1}f(d')=f(x)$$
形式$B$同理可证，核心思想是把贡献提出来

Step 3 举个例子

求:

$$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==1]$$

Way 1

令

$$f(x)=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==x]$$
$$g(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}f(d)$$
那么（中括号内表示成立为$1$否则为$0$） $$g(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==d]$$ $$=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[x|gcd(i,j)]=\lfloor\frac{N}{x}\rfloor\lfloor\frac{M}{x}\rfloor$$
进而 $$f(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}\mu({\frac{d}{x}})g(d)$$ $$f(1)=\sum_{i=1}^{min(N,M)}\mu(i)\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{i}\rfloor$$
加上数论分块可以$O(\sqrt{N})$完成（数论分块例题）

Way 2

由上面的莫比乌斯函数的定理可以知道

$$[gcd(i,j)==1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)=\sum_{d|i,d|j}\mu(d)$$
所以说 $$Ans=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)$$
提贡献：把$d$提到前面来 $$Ans=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\sum_{d|i}^{N}\sum_{d|j}^{M}1$$ 即 $$Ans=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\lfloor\frac{N}{d}\rfloor\lfloor\frac{M}{d}\rfloor$$

二、题目

1、练基础

• 【HDU】GCD https://vjudge.net/problem/HDU-1695
• 【Luogu】[POI2007]ZAP-Queries https://www.luogu.org/problemnew/show/3455
• 【Luogu】[HAOI2011]Problem b https://www.luogu.org/problemnew/show/P2522
• 【Luogu】[SDOI2008]仪仗队 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2158
• 【SPOJ】Visible Lattice Points https://vjudge.net/problem/SPOJ-VLATTICE
• 【ZOJ】Ideal Puzzle Bobble https://vjudge.net/problem/ZOJ-3435
• 【Luogu】[NOI2010]能量采集 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447
• 【CJOJ】gcd之和 https://oj.changjun.com.cn/problem/detail/pid/2512
• 【UVa】GCD-Extreme(II) https://vjudge.net/problem/UVA-11426
• 【Luogu】[国家集训队]Crash的数字表格 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1829
• 【Luogu】GCD https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568
• 【Luogu】Hillan and the girl https://vjudge.net/problem/HDU-5663

2、刷提高

• 【BZOJ】完全平方数 https://ruanx.pw/bzojch/p/2440.html
• 【COGS】jzptab http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2031
• 【HDU】Mophues https://vjudge.net/problem/HDU-4746
• 【HDU】Code https://vjudge.net/problem/HDU-5212
• 【Luogu】YY的GCD https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257
• 【COGS】[BZOJ4407]于神之怒加强版 http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2156

3、变态题

• 【Luogu】P3327 [SDOI2015]约数个数和（我的题解）https://www.luogu.org/problemnew/show/3327
• 【SNMOJ】[安师大]sanrd（我的题解） http://172.40.26.251/contest/55/problem/290
• 【SDOI2014】数表 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3312

三、做题经验

1、Mobius求解以下问题

$A、$[POI2007]ZAP-Queries（题解戳我）
　　$O(\sqrt{n})$求下式（预处理$O(n)$，还有拓展到$n$个$sigma$的Visible Lattice Points）

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$$
$B、$Gcd之和（题解戳我）
　　$O(n)$求下式（jzptab要求单次询问$O(\sqrt{n})$，题解戳我）
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$$
$C、$Crash的数字表格->单次$O(n)$求下式
　　jzptab->单次$O(\sqrt{n})$求下式（题解戳我）
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$$
$D、$Mophues（题解戳我/题解戳我）
　　$O(n\sqrt{n})$预处理并单次$O(\sqrt{n})$求下式，$Fact(i)$表示$i$唯一分解后不同质因子的个数
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[Fact(gcd(i,j))<=P]$$
$E、$Code（题解戳我）
　　构造函数单次$O(n\sqrt{n})$求下式，$A$为给定的一个数列，$A[i]<=1w$
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(A[i],A[j])*(gcd(A[i],A[j])-1)$$
$F、$约数个数和（题解戳我【自己写的】）
　　$O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$处理下式，$d(i)$为$i$的约数个数详见引理$B$ $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)$$

$G、$YY的GCD（题解戳我）
　　$O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$处理下式

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)为质数?1:0]$$
$H、$Hillan and the girl（题解戳我）
　　$O(n)$或$O(nloglogn)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$ $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)为完全平方数?1:0]$$

$I、$于神之怒加强版（题解戳我）
　　$O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k$$

$J、$数字表格（题解戳我）
　　$O(nloglogn)$预处理并且单次询问$O(\sqrt{n})$，其中$Feb(i)$表示斐波那契数列第i项，$Feb(0)=0,Feb(1)=1...$

$$\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}Feb(gcd(i,j))$$

2、小套路

$A、\mu$只会用到$min(N,M)$所以筛的时候可以不用筛到$MAXN$(助力冲榜)
$B、$数论分块套路（当数论分块会比较麻烦的时候可以用$Map$）

• 数论分块$\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor$：$[l,r]$的值一定，则 $$r=\lfloor{\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}}\rfloor即r=n/(n/l)$$
• 数论分块$\lfloor{\frac{n}{i^2}}\rfloor$：$[l,r]$的值一定，则 $$r=\lfloor{\sqrt{\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor}}\rfloor}\rfloor即r=sqrt(n/(n/l/l))$$
• 数论分块$\lfloor\sqrt{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}\rfloor$：$[l,r]$的值一定则 $$r=\lfloor{\frac{n}{(\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor)^2}}\rfloor即r=n/(sqrt(n/l)*sqrt(n/l))$$
• 总结
  

  用$n$和$l$表示$x$，然后尝试用$n$和$x$把$l$表示回去，就得到了$r$
  $Sample1$    $x=\lfloor\frac{n}{l}\rfloor$，$l=\lfloor\frac{n}{x}\rfloor$，$r=\lfloor{\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}}\rfloor$
  $Sample2$    $x=\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor$，$l=\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\rfloor$，$r=\lfloor{\sqrt{\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor}}\rfloor}\rfloor$
  $Sample3$    $x=\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor$，$l=\lfloor\frac{n}{x^2}\rfloor$，$r=\lfloor{\frac{n}{(\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor)^2}}\rfloor$

提贡献套路(换元思想)

Code
线性筛积性函数积性函数与线性筛

3、注意事项

$A、$数据范围大的时候注意随时取模！！
$B、$有时候卡空间/时间，那么能用$int$尽量$int$，随时$1LL$

４、引理

$A、$

$$\lfloor{\frac{\frac{n}{i}}{d}}\rfloor=\lfloor{\frac{n}{id}}\rfloor$$ 　　令$n=a*(id)+b$，$b < id$
　　那么$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=a*d+\lfloor\frac{b}{i}\rfloor,\lfloor\frac{b}{i}\rfloor< d$
　　$\lfloor{\frac{\frac{n}{i}}{d}}\rfloor=a=\lfloor{\frac{n}{id}}\rfloor$
　　
$B、$ $$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]$$
　　$d(x)$表示$x$的约数个数，如$d(6)=4$
　　任意$nm$的约数可以表示为$i*\frac{m}{j}$
　　如果$gcd(i,j)!=1$，可以令$i=k_1p,j=k_2p$，$i*\frac{m}{j}$表示的约数是$\frac{k_1}{k_2m}$，但是我们可以发现当$i=k_1,j=k_2$的时候就已经统计过这个约数了，再不懂可以手玩$4*6$
　　（Upd2018.8.15：公式写错了已更正 @Tyher）

有关原创文章

《线性筛》
《<约数个数和>题解》
《<安师大sanrd>题解》

Code

筛$\mu(x)$

void Mobius()
{
    mu[1]=1;ispri[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!ispri[i]) {pri[++tot]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            else break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+mu[i];
}