理解概率公式

作业部落链接：https://www.zybuluo.com/xzyxzy/note/1092630
数学

---

一些术语

$P(A)$表示发生事件$A$的概率
$P(AB)$指又发生$A$又发生$B$的概率
$P(A|B)$指发生$B$的条件下发生$A$的概率

举个例子吧，今天早上多云的概率是$50\%$，早上多云的一天下雨的概率是$70\%$，那么
$P(今天早上多云)=50\%$
$P(下雨|早上多云)=70\%$
$P(早上多云下雨)=35\%$

条件概率公式

$$P(AB)=P(A)P(B|A)$$

全概率公式

$$P(A)=\sum_{i=1}^{inf}{P(B_i)P(A|B_i)}$$
其中 $$\sum_{i=1}^{inf}B_i=1,B_i\cap B_j=\varnothing$$
就是说所有$B$事件的概率和为$1$且相互独立

贝叶斯公式

$$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
证明： $$P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$$

举例

Question:
假设

• 某病发生的概率是$0.01\%$
• 某病误诊的概率是$1\%$

如果某人诊断患病,求某人患病的概率

Answer:
令$A$表示得病，$A_1$表示没得病，$B$表示诊断患病

$$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
$$=\frac{0.01\%*99\%}{P(B|A)P(A)+P(B|A_1)P(A_1)}$$
$$=\frac{0.01\%*99\%}{0.01\%*99\%+1\%*99.99\%}=0.98\%$$