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@xzyxzy 2018-04-10T14:11:44.000000Z 字数 2687 阅读 652

高斯消元

数学

更好阅读体验:https://www.zybuluo.com/xzyxzy/note/1046632


一、概述

两种形式

求解方程组

模拟加减消元,先消成上三角再带入求解,详见代码

异或方程组

与求解方程组类似,也许更简单,若只有01建议用bitset压常数
可以类比线性基哦(orz zsy dalao)

主要用途

主要用于计算出现环的概率DP问题,如[HNOI2013]游走
也有一些开关灯问题,很灵活地用到异或方程组如[USACO09NOV]灯Lights

二、题目

考试题

代码

[hihoCoder]高斯消元·一
给定N个未知数M个方程,要求判无解、无穷解,有唯一解则输出
毒瘤题「题解戳我BY TPLY」
注意:易写错为!!!

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstdlib>
  4. #include<cmath>
  5. using namespace std;
  6. int N,M;
  7. double f[1011][511];
  8. const double EPS=1e-7;
  9. void Gauss()
  10. {
  11. int flag=0;
  12. for(int i=1;i<=N;i++)
  13. {
  14. int now=i;
  15. for(int j=i+1;j<=M;j++)
  16. if(fabs(f[now][i])<fabs(f[j][i]))
  17. now=j;
  18. if(now!=i)swap(f[now],f[i]);//在这里这一段不能省,当这一行为0时有可能这个式子是无效的所以换一个式子上来
  19. if(fabs(f[i][i])<EPS){flag=1;continue;}//从i到M这些式子x[i]的系数都是0,那么如果x[i+1]-x[N]都有解的话,x[i]就有无穷解了,注意无解情况优先于无穷解
  20. for(int j=i+1;j<=N+1;j++)f[i][j]/=f[i][i];f[i][i]=1;
  21. for(int j=i+1;j<=M;j++)
  22. {
  23. for(int k=i+1;k<=N+1;k++)
  24. f[j][k]-=f[j][i]*f[i][k];
  25. f[j][i]=0;
  26. }
  27. //正常的消元
  28. }
  29. //判无解1:系数全0,常数非0
  30. for(int j,i=1;i<=M;i++)
  31. {
  32. for(j=1;j<=N;j++)
  33. if(fabs(f[i][j])>EPS)break;
  34. if(j==N+1&&fabs(f[i][N+1])>EPS){printf("No solutions\n");return;}//有一项方程系数都为0但是常数项大于0于是方程无解
  35. }
  36. //判无解2:计算第i行答案时出现a*x[i]=C(a=0,C!=0)
  37. for(int i=N;i>=1;i--)
  38. {
  39. for(int j=i+1;j<=N;j++)f[i][N+1]-=f[i][j]*f[j][N+1];
  40. if(f[i][N+1]&&!f[i][i]){printf("No solutions\n");return;}
  41. }
  42. if(flag){printf("Many solutions\n");return;}
  43. for(int i=1;i<=N;i++)
  44. printf("%d\n",int(f[i][N+1]+0.5));
  45. }
  46. int main()
  47. {
  48. scanf("%d%d",&N,&M);
  49. for(int i=1;i<=M;i++)
  50. for(int j=1;j<=N+1;j++)
  51. scanf("%lf",&f[i][j]);
  52. Gauss();return 0;
  53. }

[hihoCoder]高斯消元·二
异或方程组求解 模板

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstdlib>
  4. #include<bitset>
  5. using namespace std;
  6. char s[10][10];
  7. bitset<50>f[50];
  8. int id(int x,int y){return (x-1)*6+y;}
  9. void Gauss()
  10. {
  11. for(int i=1;i<=30;i++)
  12. {
  13. int now=i;
  14. for(int j=i+1;j<=30;j++)
  15. if(f[j][i]>f[now][i]) now=j;
  16. if(now!=i) swap(f[now],f[i]);
  17. for(int j=i+1;j<=30;j++)
  18. if(f[j][i]) f[j]^=f[i];
  19. }
  20. for(int i=30;i>=1;i--)
  21. for(int j=i-1;j>=1;j--)
  22. if(f[j][i]) f[j]^=f[i];
  23. int tot=0;
  24. for(int i=1;i<=30;i++)
  25. if(f[i][31]==1) tot++;
  26. printf("%d\n",tot);
  27. for(int i=1;i<=30;i++)
  28. if(f[i][31]==1)
  29. {
  30. if(i%6==0) printf("%d %d\n",i/6,6);
  31. else printf("%d %d\n",i/6+1,i%6);
  32. }
  33. }
  34. int main()
  35. {
  36. for(int i=1;i<=5;i++)
  37. scanf("%s",s[i]+1);
  38. for(int i=1;i<=5;i++)
  39. for(int j=1;j<=6;j++)
  40. {
  41. int p=id(i,j),l=id(i,j-1),r=id(i,j+1),u=id(i-1,j),d=id(i+1,j);
  42. f[p][p]=1;f[p][31]=(s[i][j]-'0')^1;
  43. if(i>1)f[p][u]=1;
  44. if(i<5)f[p][d]=1;
  45. if(j>1)f[p][l]=1;
  46. if(j<6)f[p][r]=1;
  47. }
  48. Gauss();return 0;
  49. }
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