Exercise2.17

一.题目

2.17.Investigate the trajectories of knuckleballs as a function of the angular velocity w, the initial angular orientation, and the (center of mass) velocity.

二.背景介绍

knuckleball的运动轨迹由很多因素所决定。通过解析的方法进行受力分析可知，球受到重力、空气阻力，以及由于球表面的粗糙和低转速产生的一个作用在侧面的力的影响。
这里我们仅讨论在低转速下，轨迹是怎样受到自转角速度w、出射速度v以及初始角位置的影响的。为了显得直观，先做出在x-z平面（水平面）上的运动轨迹，而后做出三维空间的运动轨迹，使得我们对这个过程有一个更深刻的理解。
写出运动方程如下：
$x_{i+1} = x_{i} + v_{x,i} \Delta t$
$y_{i+1} = y_{i} + v_{y,i} \Delta t$
$z_{i+1} = z_{i} + v_{z,i} \Delta t$
$v_{x,i+1} = v_{x,i} - \frac{B_{2}vv_{x,i}}{m}\Delta t$
$v_{y,i+1} = v_{y,i} - g \Delta t$
$v_{z,i+1} = v_{z,i} + \frac{g}{2}[sin(4\theta )-0.25sin(8\theta )+0.08sin(12\theta )-0.025sin(16\theta )] \Delta t$
在此，由于转速过小，忽略掉the Magnus force。
这里$\frac{B_{2}}{m}=0.0039+\frac{0.0058}{1+exp[(v-vd)/\Delta ]}$;g=9.8m/s^2

三.正文

1.探究轨迹与初始角的关系

初始角从0°到360°每10°循环一次画一条线
代码如下：

运行结果如下：
（立体效果图）

2.探究轨迹与出射速度的关系

速度从20到40每循环一次画一条线
代码如下：

运行结果如下：
（立体效果图）

3.探究轨迹与角速度的关系

角速度从0.1*2pi到1.0*2pi每隔0.1*2pi画一条线
代码如下：

运行结果如下：
（立体效果图）

从作图结果来看，三维图更有震撼效果！

四.结果

从图像可以看出，knuckleball的运动相当复杂。仅仅考虑三个变量，其中一个变量出现极小的变化，轨迹都有可能截然不同。转动三维图像，可以发现，很多情况下都可能发生球在空中忽然转弯的诡异现象，这样的球当然会让对手防不胜防了，当然实际情况可能更为复杂。
由于时间有限，笔者只能探究单一变量对轨迹的影响。那么同时考虑多个变量结果呢？得出来的三维图一定会更加复杂而有趣。