@youngwang
2017-10-27T15:24:21.000000Z
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Exercise 3.14
王意昂 2015301020069
一.题目：
Repeat the previous problem, but give the two pendulums slightly different damping factors. How does the value of the Lyapunov exponent compare with that found in Figure 3.7?
二.背景介绍：
1.先得出前述问题的结果（图3.7）：
2.改变阻尼系数，使得两个弹簧的参数q不一样。
为了方便与图3.7对比，分别探究在和两种情况下，对于两个弹簧取不同的阻尼系数q，图像会有什么变化，系数与图3.7中所求有什么不一样。
三.正文：
1.首先我希望探究的是，q所有可能取值的极限，于是画图来研究q与Lyapunov exponent 的关系：
图一：当时同时改变两个弹簧的阻尼系数q值。
即使不注明每种颜色对应的是q值是多少，读者也应该可以根据图中曲线的走势判断出：随着q值增大，曲线是越来越倾斜的。结合公式可知，两个弹簧的阻尼系数越大，越是显得不混沌。
有点奇怪的是，当q继续增大到0.9时就开始报错了（ValueError: math domain error）。（非常抱歉由于量子力学要考试没时间研究为啥了）
图二：当时同时改变两个弹簧的阻尼系数q值
这次必须标颜色对应q值了：
q=0.1红q=0.2橙q=0.3黄q=0.4蓝q=0.5绿q=0.6紫q>=0.7报错，情况完全同上
从图中可以观察出，在q<=0.5时很明显是混沌现象，q再增大就越来越不混沌了，和图一现象完全相同。
从上面两个图像还可以发现另一个定性的结论：
驱动力是使得系统混沌的原因，并且随着驱动力增大混沌越是明显。
2.探究两个系统阻尼系数不同时的现象：
图三：当固定q1=0.5时，改变q2的值（间隔为0.1）与图3.7比较
图中黑线表示q1=q2=0.5（即Figure3.7图像)；蓝、浅蓝、深绿、浅绿线系为q2大于0.5的情况（随着q值增大颜色变浅）；紫红橙黄线系为q2小于0.5的情况（随着q值减小颜色变浅）
再来一张放大图：
由图可以看出：蓝-绿线系、紫-红线系分别基本重合，曲线形状分别基本相同（这就是为何称之为“线系”的原因）；但是和黑线（两个系统阻尼系数相同）相距甚远。而且发现q2越是趋近于0，曲线越是随着时间变化飘的越高，可以预测的是，当q2足够小时，可能一个下降过程都没有，曲线直接飘起来了。
可以看出，这是非常优美的图形——我们可以很好的预测它的变化趋势；即使是q2趋近于0可能造成的影响，也是可以很好估计的。
图四：当固定q1=0.5时，改变q2的值（间隔为0.1）与图3.7比较
图中黑线表示q1=q2=0.5（即Figure3.7图像)；蓝、浅蓝、深绿、浅绿线系为q2大于0.5的情况（随着q值增大颜色变浅）；紫红橙黄线系为q2小于0.5的情况（随着q值减小颜色变浅）
再来一张放大图：
由图可以看出：蓝-绿线系基本重合，曲线形状基本相同，和黑线（两个系统阻尼系数相同）刚开始的形状也基本相同，但是后面就不一样了；而紫红黄线系差别太大了。
可以给出的一个定性结论：
当阻尼系数不同时，情况与相同时差别很大；但是不同的阻尼系数之差，形成的混沌效果区别不会很大，仅在幅度上会有细微的差别；但是当一个的阻尼系数趋近于0时，形成的混沌效果会差别极大（无法预测进一步逼近0时曲线的走向）（当然区别不大是指在允许的精度范围内）
3.如果q1与q2互换呢？
初始设定是按照课本上的
因此我们自然会想问，如果将q1和q2互换情况会怎样呢？（如果不指定对应的系统，相当于将相位差反转为负值，即探究相对相位对于不同阻尼系数的两个系统的影响。）
图五：
其中蓝-浅蓝、橙-黄、红-粉红分别为q1和q2分别取0.5或0.4、0.5或0.3、0.5或0.8时的曲线。
结论：
两个系统相位差反转，对开始影响较大，中间时间段没有明显区别，时间足够长后开始出现区别；而且相位差越大，差别越大（这个现象和蝴蝶效应非常相似？）（从相对的两条曲线是否重合以及分开程度看出）
图六：
作图方法同上。
结论：
开始会有一定区别外，后面时间段依然会有较大
四.结果：
通过前面的演示，我们定性得出了当两个系统阻尼系数不同时，可能出现的情况。总而言之，在混沌系统中，哪怕只有一点点改变，最后的结果也可能出现大的偏差，可以很大程度上说明‘蝴蝶效应’。曲线走向越是精彩，最后结果越是让人头疼。。。
五.致谢：
