磁学中常用单位的说明和换算

磁学

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我们在磁学测量中会遇到各种各样的磁学单位。Quantum Design的MPMS默认以emu（高斯单位制）作为宏观磁矩的单位，而在文献中常常使用的却是国际单位制。在此我们将一些常用的单位及单位换算总结一下。

磁矩单位

在国际单位制中，宏观磁矩$m$的单位是$A\cdot m^2$,而在高斯制中的单位是$emu$。二者的关系是

$$1 A\cdot m^2 = 1000 emu$$
不过，emu并不是一个真正意义上的单位。因为在高斯单位制中，凡是没有明确定义出的单位都是用emu来表示的。而高斯单位制中真正的磁矩单位是erg/G，
$$1 erg/G = 1 emu$$
微观磁矩我们常常使用的是玻尔磁子$\mu_B$，在国际单位制中
$$1 \mu_B = 9.274 \times 10^{-24} A\cdot m^2$$

磁化强度的单位

我们习惯上将单位体积内的净磁矩定义为磁化强度，即磁化强度

$$M = \frac{m}{V}$$
因此在国际单位制下磁化强度的单位为$A/m$。
但实际上一块材料的体积不是那么容易得到的，但我们总是可以很容易得到它的质量，并通过摩尔质量得到它的摩尔数。这样我们便可以用另外两种方法来对宏观磁矩进行归一化，即单位质量的净磁矩或者单位摩尔的净磁矩。
这样磁化强度的单位可以出现以下几种，国际单位制下的$A\cdot m^2/kg$，$A\cdot m^2/mol$，以及高斯制单位下的$emu/g$，$emu/mol$。
磁化强度中存在一个常用的换算关系是
$$1 A\cdot m^2/kg = 1 emu/g$$
为了和微观磁机制进行对应，我们经常会用另一个归一化的磁化强度单位，即$\mu_B/f.u.$，$f.u.$表示formula unit，即单位化学式内有多少个玻尔磁子。如果我们得到的磁化强度单位为$emu/mol$,可以通过以下方法换算为$\mu_B/f.u.$
$$1emu/mol = \frac{10^{-3}\mu_B}{9.274 \times 10^{-24}\times 6.022 \times 10^{23} f.u.} = \frac{1}{5585}\mu_B/f.u.$$
所以我们得到$emu/mol$的单位之后除以5585就是$\mu_B/f.u.$的单位了。

磁化强度换算为等效磁场

我们得到磁化强度之后有时候会需要转化为等效的磁场。一般而言，在国际单位制中，磁化强度与磁场的关系为

$$B = \mu_0M$$
其中$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}T\cdot m/A$为真空磁导率。

这里我们总结两个公式，一个是将$\mu_B/f.u.$转化为$T$，另一个是将$A\cdot m^2/kg$转化为$T$.

1. 将$\mu_B/f.u.$转化为$T$

假设一种材料一个晶胞的体积是$V_{u.c.}$，这个我们可以在晶体数据库中查到，一般的单位是$A^3$。假设一个材料的晶胞中包含了N个原胞，则一个原胞的体积$V_{p.c.} = V_{u.c.}/N$。接下来我们分别列出各个步骤的计算式和转化后的单位，最初的磁化强度$M$单位是$\mu_B/f.u.$

$$5585M \tag{emu/mol}$$
$$\frac{5585M}{10^{-30}\cdot N_AV_{p.c.}} \tag{$emu/m^3$}$$
$$\frac{10^{-3}\cdot 5585M}{10^{-30}\cdot N_AV_{p.c.}} \tag{$A\cdot m^2/m^3$}$$
$$B = \mu_0\frac{10^{-3}\cdot 5585M}{10^{-30}\cdot N_AV_{p.c.}} \tag{$T$}$$

2.将$A\cdot m^2/kg$转化为$T$

假设我们可以知道物质的密度$\rho$,单位为$kg/m^3$，则可以通过下式转化为磁场

$$B = \mu_0\frac{M}{\rho}\tag{T}$$
其中$M$的单位是$A\cdot m^2/kg$。
接下来我们看一下如何求一种材料的密度。
上面我们已经写了如何通过晶体数据库找到材料的体积$V_{p.c.}$，接下来我们可以通过物质的化学式求得它的物质的量$M_{mol}$,这样物质的密度可以写成
$$\rho = \frac{10^{-3}M_{mol}}{10^{-30}N_{A}V_{p.c.}}\tag{$kg/m^3$}$$
这样代入前面的式子就可以把$A\cdot m^2/kg$转化为$T$。

3. 求有效磁矩

大多数物质都服从Curie-Weiss定律，即

$$\chi = \frac{C}{T-\theta_P}$$
其中的$\theta_P$为顺磁居里温度。常数C可以在理论上推导出来
$$C = \frac{N\mu_{eff}^2\mu^2_B}{3k_B}$$
所以有效磁矩
$$\mu_{eff} = \sqrt{\frac{3k_BC}{N\mu_B^2}}$$
需要注意上面两个公式是在高斯单位制下的公式，其中
有效磁矩$\mu_{eff}$无量纲；
玻尔兹曼常数$k_B = 1.38 \times 10^{-16} erg/K$；
C的量纲是摩尔磁化率乘上温度，其单位为$erg/G/mol \cdot K$；
N为阿伏伽德罗常数，其值等于$6.02\times 10^{23} mol^{-1}$；
玻尔磁子$\mu_B = 9.274\times 10^{-21} erg/G$。
在确定的单位制下，我们可以只关注数值计算，而不用担心其单位，最终得到的物理量单位也是本单位制中的单位。利用以上各个量的数值，我们可以得到有效磁矩的计算公式
$$\mu_{eff} = \sqrt{8C} = 2.828\sqrt{C}$$
根据有效磁矩我们可以得到材料的未配对电子n
$$\mu_{eff} = \sqrt{n(n+2)}$$
反过来得到
$$n = \sqrt{1+\mu_{eff}^2}-1$$

4. 为什么文献中表示磁场的横坐标要用$\mu_0H(T)$而不是B(T)

我们在测量样品时首先给样品加一个磁场，用H表示，单位为$Oe$。PPMS的磁场可以达到90000 Oe。因为在高斯单位制中真空磁导率$\mu_0 = 1$，所以高斯制中的H和B没有什么区别。我们可以将90000 Oe （H的单位）理解为 90000 Gs （B的单位），也即9 T。
H是一个介质无关的物理量，所以我们可以直接用H（Oe）或$\mu _0H(T)$来表示样品所感受到的磁场强度。
如果我们要考虑一个样品内部的磁感应强度，应该考虑如下关系：

$$B = \mu_0 (H+M) (国际单位制)$$
或
$$B = H + 4\pi M (高斯单位制)$$
可以看出其多了一个由M引起的磁感应强度项$\mu_0M$或$4\pi M$。
因此B用来表示样品所感受到的磁场并不合适，也不方便。但我们还是会看到有的文章中直接用B表示磁场，那么直接忽略$4\pi M$造成的差别有多大呢？我们以文章[PHYSICAL REVIEW B 76, 184410(2007)]中的材料来进行估算。$GdFe_2Zn_{20}$在2K的饱和磁化强度约为为7$\mu_B/f.u.$，根据文章中的式(A2)换算之后得到的磁场强度约为2400 Oe，这是不可忽略的。而对于一些没有磁性的材料，其磁化强度很小，换算后的磁场强度在几个Oe的量级，在要求不严格的情况下，可以用B(T)代替$\mu_0H(T)$。

5. 退磁场的估算

我们先说明退磁场的估算过程，在说明其来源。
退磁场的大小和样品的形状有关，相对于其磁化方向，样品会产生一个相反方向的退磁场$H_d$。在国际单位制中，由于M和H单位相同，我们可以直接得到退磁场

$$H_d = -DM$$
其中D为退磁因子，根据样品形状可推算得到；M为样品在对应磁场下的磁化强度。这里H和M的单位均为A/m。
但我们通常磁学中通常用的是高斯单位制。接下来我们推导在高斯单位制下如何得到退磁场。
假如我们得到磁化强度M，单位为$\mu_B/f.u.$，则可先将其化为高斯制下的标准单位$emu/cm^{3}$，然后再通过公式$H_d = -4\pi DM$得到对应的退磁场。具体过程如下：
$$M\tag{$\mu_B/f.u.$}$$
$$5585M\tag{$emu/mol$}$$
$$\frac{5585M}{N_AV_{p.c.}} \tag{$emu/cm^3$}$$
注意这里的$V_{p.c.}$表示一个原胞的体积，单位为$cm^{-3}，$$V_{p.c.} = V_{u.c.}/N$。这样我们就可以得到
$$H_d = -4\pi D \frac{5585MN}{N_AV_{u.c.}} \tag{$Oe$}$$
这个式子即为贾爽老师文章[PHYSICAL REVIEW B 76, 184410(2007)]中的式(A1)。
样品的实际有效磁场强度
$$H_{eff} = H_{ext} + H_d (注意这里H_d带fu号)$$
两边同时除以M（单位为$\mu_B/f.u.$）得到
$$\frac{H_{eff}}{M} = \frac{H_{ext}}{M} + \frac{H_d}{M} (单位为Oe \cdot f.u./\mu_B)$$
此即为贾爽老师文章中的式(A2)。

那么退磁场是如何引起的呢？
退磁场是磁体在外加磁场磁化的过程中，内生的一种与外加磁场方向相反的磁场。
退磁场的产生是因为被测磁体磁路不闭合产生的，从磁荷的观点来看，就是开路出现磁荷，于是有退磁场了。
细节的说明可以参见【知乎：静磁学中的退磁场与退磁系数】。

5. 加在一个磁介质样品上的有效磁场和有效磁化强度

如果我们给样品施加一个磁场强度$H_{ext}$，则根据上面的讨论，考虑退磁场，实际加在样品上的有效磁场强度为：

$$H_{eff} = H_{ext}+H_d$$
施加在样品上的有效磁场为
$$B = \mu_0(H_{eff}+M) = \mu_0(H_{ext} + H_d + M)$$

在国际单位制下，$H_d = -DM$，则

$$B =\mu_0(H_{ext}+(1-D)M)$$

在高斯单位制下，$\mu_0 = 1$，

$$B = H_{ext}+(1-4\pi D \frac{5585N}{N_AV_{u.c.}} \tag{$Oe$})M$$