电输运测量过程中的误差估算

Electric_Transport

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我们这里对样品尺寸测量误差导致的输运物理量的误差进行估算。

1. 误差相关公式

一个函数假设为A(x)，则有x的误差导致函数A(x)的误差为

$$\Delta A = \frac{\partial{A}}{\partial{x}}\Delta x$$ ,
此处的$\Delta A$和$\Delta x$分别代表A和x的误差。
如果我们有一个多元函数$A(x_i)$，则由自变量$x_i$引起的误差为
$$\Delta A_i = \frac{\partial{A}}{\partial{x_i}}\Delta x_i$$
由误差合成公式可得函数A的总误差为
$$\Delta A = \sqrt{\sum{(\Delta A_i)^2}} = \sqrt{(\frac{\partial{A}}{\partial{x_i}}\Delta x_i)^2}$$
据此我们可以推出一个实用的公式,如果函数$A = cx^ay^bz^c$，则
$$\frac{\Delta A}{A} = \sqrt{(a\frac{\Delta x}{x})^2+(b\frac{\Delta y}{y})^2+(c\frac{\Delta z}{z})^2} \tag{1}$$

2. 电阻率的误差

为了方便，我们假设这里测量的一个样品$l = 1 mm$，$w = 1 mm$, $t = 0.2 mm$。一个点的比较糟糕的速干胶的电极半径可达到0.3 mm，我们估计由此造成的长宽的测量误差均为±0.05 mm，厚度的测量不受银胶电极的影响，我们估计为±0.01 mm，因此$\Delta l = ± 0.05 mm$，$\Delta w = ± 0.05 mm$, $\Delta t = ± 0.01 mm$。

纵向电阻率

$$\rho = R\frac{l}{wt}$$ ，
其中的R为测量量，l，w，t分别为样品的长、宽和厚度。根据式（1）我们可以得到
$$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \sqrt{(+1\cdot \frac{\Delta l}{l})^2+(-1\cdot \frac{\Delta w}{w})^2+(-1\cdot \frac{\Delta t}{t})^2} = \sqrt{{0.05}^2+{0.05}^2+{0.05}^2} = 0.0866$$
即$\Delta \rho \sim 8.7\% \cdot \rho$

横向电阻率

$$\rho_H = t \cdot R_H$$
$$\frac{\Delta \rho_H}{\rho_H} = \sqrt{(1\cdot \frac{\Delta t}{t})^2} = \sqrt{{0.05}^2} = 0.05$$
即$\Delta \rho \sim 5\% \cdot \rho$

3. 电导率的误差

纵向电导率

$$\sigma_{xx} = \frac{\rho_{xx}}{\rho_{xx}^2+\rho_{xy}^2}\sim \frac{1}{\rho_{xx}} = \frac{wt}{l} \frac1R$$ ，
$$\frac{\Delta \sigma_{xx}}{\sigma_{xx}} = \sqrt{(-1\cdot \frac{\Delta l}{l})^2+(+1\cdot \frac{\Delta w}{w})^2+(+1\cdot \frac{\Delta t}{t})^2} = \sqrt{{0.05}^2+{0.05}^2+{0.05}^2} = 0.0866$$
即$\Delta \sigma_{xx} \sim 8.7\% \cdot \sigma_{xx}$。

横向电导率

$$\sigma_{xy} = \frac{\rho_{yx}}{\rho_{xx}^2+\rho_{yx}^2}\sim \frac{\rho_{yx}}{\rho_{xx}^2} = \frac{R_{yx}}{R_{xx}^2}\frac{l^2}{w^2t}$$ ，
$$\frac{\Delta \sigma_{xy}}{\sigma_{xy}} = \sqrt{(2\cdot \frac{\Delta l}{l})^2+(-2\cdot \frac{\Delta w}{w})^2+(-1\cdot \frac{\Delta t}{t})^2} = \sqrt{{(+2\cdot 0.05)}^2+{(-2\cdot 0.05)}^2+{(-1 \cdot 0.05}^2)} = 0.15$$
即$\Delta \sigma_{xy} \sim 15\% \cdot \sigma_{xy}$。

另一种估计方法为

$$\sigma_{xy} \sim \frac{\rho_{yx}}{\rho_{xx}^2}$$
$$\frac{\Delta \sigma_{xy}}{\sigma_{xy}} = \sqrt{(+1\cdot \frac{\Delta \rho_{yx}}{\rho_{yx}})^2+(-2\cdot \frac{\Delta \rho_{xx}}{\rho_{xx}})^2} = \sqrt{{(+1\cdot 0.05)}^2+{(-2\cdot 0.0866)}^2} = 0.18$$
即$\Delta \sigma_{xy} \sim 18\% \cdot \sigma_{xy}$。
两种方法估算结果的差别是由于$\rho_{yx}$和$\rho_{xx}$中含有共同变量t。第一种算法是长宽高的误差直接传递到了$\sigma_{xy}$，即我们直接测量了$\sigma_{xy}$；第二种方法是长宽高的误差先传递到$\rho_{yx}$和$\rho_{xx}$，再通过$\rho_{yx}$和$\rho_{xx}$传递到$\sigma_{xy}$，即我们是先测量$\rho_{yx}$和$\rho_{xx}$，然后再由二者计算得到$\sigma_{xy}$。实际测量过程就是这种，因此对应的误差为方法二得到的误差，即$\Delta \sigma_{xy} \sim 18\% \cdot \sigma_{xy}$。

这里也可以看出，同样的数据，不同的处理过程，得到的同一物理量的结果误差也不同。