霍尔效应的常用公式

固体物理

---

Fig.1 霍尔效应示意图

1. 背景基础

由电场力等于洛伦兹力，我们可以得到

$$qE_{y} = qv_{x}B$$
因此，纵向电流
$$I_{x} = nSqv = nwtqv = nSqE_{y}/B$$
$$J_x = \frac{I_{x}}{S} = \frac{nqE_{y}}{B}$$
我们可以定义霍尔系数

$$R_{H} = \frac{E_{y}}{j_{x}B} = \frac{1}{nq}$$

2. 实验测量

在实验上，我们最先得到的是霍尔电压V_H ( 即Vy )，由此可以得到霍尔电阻率

$$\rho_{H} = \rho_{xy} = \frac{E_y}{j_{x}} = R_{H}B$$

测量到的霍尔电压可以通过下式转换为霍尔电阻率

$$R_{xy} = \frac{V_y}{I_x} = \frac{wE_y}{wtj_x} = \frac{\rho_{xy}}{t}$$
其中，$\rho_{xy} = tR_{xy}$， t为样品的厚度

对应地，

$$R_{xx} = \frac{V_x}{I_x} = \frac{E_xl}{j_xS} = \rho_{xx}\frac{l}{S}$$
$$\rho_{xx} = \frac{E_x}{j_x}$$
因此，如果我们从实验上测得霍尔电压，便可以得到霍尔电阻率和霍尔系数，进而得到样品的载流子浓度。
从微观角度看，我们可以得到正常霍尔效应下的电阻率公式

$$\rho_{xx} = \frac{m}{ne^2\tau}$$
$$\rho_{xy} = \frac{B }{ne}$$

3. 数据处理

在实际测量时，粘的霍尔电极不会是严格地沿着霍尔电压方向，总是会有一定的纵向偏移；同样纵向电极也会有一定的横向偏移。因此我们需要通过测量正负磁场来进行对称化和反对称化，以此来得到纯粹的横向电阻率和纵向电阻率，即

$$\rho_{xx}(B) = \frac{\rho(B)+\rho_(-B)}{2}$$
$$\rho_{xy}(B) = \frac{\rho(B)-\rho_(-B)}{2}$$
得到霍尔电阻率和纵向电阻率之后，我们有时候需要得到相应的电导率（因为对于理论学家而言，计算电导率总是相对简单的）。在不加磁场时，电阻率和电导率的关系很简单

$$\sigma = \frac1{\rho}$$
给样品加上一个垂直磁场之后，电阻率和电导率均变成一个二维张量，即

$$\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ -\sigma_{xy} & \sigma_{xx} \\ \end{pmatrix}$$
$$\rho = \begin{pmatrix} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ -\rho_{xy} & \rho_{xx} \\ \end{pmatrix}$$
由$\sigma\cdot \rho = 1$可得二者分量之间的关系
$$\sigma_{xx} = \frac{\rho_{xx}}{\rho_{xx}^2+\rho_{xy}^2}, \sigma_{xy} = -\frac{\rho_{xy}}{\rho_{xx}^2+\rho_{xy}^2}$$
同理，可以得
$$\rho_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2}, \rho_{xy} = -\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2}$$
通过以上关系，我们可以得到以下的结论：

• 如果$\rho_{xy} = 0$，则我们可以得到不加磁场时的关系$\sigma_{xx} = \frac1{\rho_{xx}}$
• 如果$\rho_{xy} \not= 0$，我们看到 $\rho_{xx} = 0 \Rightarrow \sigma_{xx} = 0$.

从普通的观点来看，以上的第二点是反直觉的，难以理解的。一个导体怎么可能既是完美的导体又是完美的绝缘体呢？
我们想一下电阻率和电导率的物理意义：根据Drude模型，$\sigma_{xx}=0$和$\rho_{xx}=0$ 对应于同一个物理图像即$\tau = \infty$，即在样品中没有散射。进一步也就是说电流没有做功。这点很容易达到，我们只需让纵向的电流为零，则$\sigma_{xx} = 0$，而$\rho_{xx} = 0$则表示样品中没有能量的耗散。此时的电子没有纵向的移动，而是在原地打转（局域化轨道）。

Fig. 2 量子霍尔效应示意图

4. 由霍尔效应测得的载流子浓度推得载流子迁移率

材料电导率和载流子迁移率之间的关系为
$\sigma = n\mu_ne+p\mu_pe$
对于单一种类载流子导电（以电子导电为例），
$\sigma = n\mu_ne$
因此材料的载流子迁移率为

$$\mu = \frac{\sigma}{ne} = R_H\sigma = \frac{\rho_H\sigma}{B}$$