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@zsh-o 2018-08-26T13:19:39.000000Z 字数 5151 阅读 11068

抛硬币次数的期望

数学


网上遇到的一个面试题:反复抛一枚硬币,直到抛出两次正面为止。我们期望要抛多少次?(默认这个硬币正反面的概率都是0.5)

想了半天这个问题,后来又遇到两种类型的抛硬币问题:

两种问题唯一的区别就是连续不连续,首先看下不连续的情况

不连续 - 解法1

,直接计算级数

假设一共抛了次,则最后一次为正面,前次有一次正面,则次数的概率为


则次数的期望为

现在转换为求解该级数的问题,两种方法求解该级数问题,一是错位相减大法,另一个是积分-求和-求导

错位相减


两式相减得,


则,,次数的期望,这次就不用考虑从几开始的问题了

积分-求和-求导

错位相减无法得到更通用的解,这里采用积分-求和-求导的方法求解,并把其扩展到通用的

这种方法是本科高数求无穷级数的方法,设,要求


现在需要把中的消掉,采用的方法为积分,设

级数求和变为

故期望次数为

现在来扩展到次,设次数为,正面的概率为,则前次有次正面


期望为



为了计算方便设反面的概率为
约到式子前面的含

级数求和变为

所以当硬币均匀的时候的通项为

不连续 - 解法2

解法2非常简单,把不连续的次正面分解成个小过程:

抛一次硬币第一次出现正面停止,所抛的次数为事件,则不连续的次正面被分解成了,连续发生次事件,所以


所以期望为


连续

对于连续的情况比不连续要复杂一点,网上给出了一个过程分解的思路:

设连续抛出次正面的次数为,则得到次正面的过程可以分解为:首先已经得到了连续次正面的情况,所用次数为,再抛一次,如果得到正面则游戏结束(还需要次),如果得到反面,则游戏重新开始(还需要次),递推公式如下

那么只需要计算出就可以了,可以看成抛次硬币,前次为反面,最后一次为正面


很容易求出的通项


过程分解的方法相当于换了一种思路去考虑问题,连续的情况怎么用基本事件的方式求解还没弄明白

强行又复习了一遍高数 >.<

正面概率为时的,一次正面结束的期望次数

这时


为了计算方便,反面概率为

期望为

所以


2018-08-26 更新

上述方法的思路也可用于求解一次正面结束的期望次数,假设正面的概率为,并且所求期望为,则按照上面的思路,假设已经抛了若干次均是反面,则该次如果抛得正面(概率为),则该过程停止,还需要的次数为次;而如果该次抛得反面(概率为),则该过程相当于重新开始(因为每次实验都是相互独立的,如果把其当做一个序列,不管从那一刻起,其得到一次正面结束的期望次数均相同,均等于),故在整个过程看来,有如下等式成立

Reference

有道概率题:一个有趣的抛硬币问题
抛硬币直到出现连续N次正面为止的期望

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