Chapter 3 Section 3.3

Chaos in the Driven Nonlinear Pendulum

姓名：王乎
学号：2015301580187

Abstract

利用欧拉法探究物理摆的混沌现象

Background

考虑能量耗散、外力驱动和非线性后，物理摆的运动方程为：
$\frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{g}{l}sin\theta - q\frac{d\theta}{dt} - F_Dsin(\Omega _Dt)$

即：
$\frac{d\omega}{dt} = - \frac{g}{l}sin(\theta) - q\frac{d\theta}{dt} + F_Dsin(\Omega_Dt)$
$\frac{d\theta}{dt} = \omega$

不同驱动下的运动

利用欧拉法，在重力加速度为$g = 9.8m/s^2$， 摆长$l = 9.8m$，阻尼系数$F_D = 0.5$，外力频率$2/3$，时间间隔为$0.04$时，外力幅度分别是$F_D = 0、0.5、1.2$的图像为：

$F_D = 0.0$时，摆动很快停止
$F_D = 0.5$时，摆动为和外力同周期的简谐振动
$F_D = 1.2$时，摆动出现混沌
以上图像对 $\theta$ 超出$\pm 2\pi$ 进行了修正，在不对 $\theta$ 修正时，$F_D = 1.2$ 时的图像为：

角度变化为：

混沌摆对初值的敏感

在 $F_D = 0.5$ 和 $1.2$ 时设置两个物理摆，其中一个 $\theta = 0$,另一个 $\theta = 0.01$ ,得到如下图形：

和

由此表明混沌摆对初值十分敏感

混沌摆的角度与角速度的关系

在 $F_D = 0.5$ 与 $F_D = 1.2$ 下求$\theta$ 与 $\omega$ 的关系图为：


显然混沌摆比非混沌摆要复杂得多，但仍然有其规律性

奇异点

可以看出，奇异点的位置会随相位变化而变化

致谢

参考了吴雨桥（学姐？）的部分代码