Chapter 3 Section 3.6 The Lorenz Model

Background

The Lorenz system is a system of ordinary differential equations first studied by Edward Lorenz. It is notable for having chaotic solutions for certain parameter values and initial conditions. In particular, the Lorenz attractor is a set of chaotic solutions of the Lorenz system which, when plotted, resemble a butterfly or figure eight.

Lorenz Model

美国气象学家洛伦兹在研究天气系统时，得到了如下的方程组，这是混沌理论的经典，其形式为：

我们取$\sigma = 10$　和　$b = 8/3$
利用欧拉法，分别在$r = 5　r = 10　r = 25$下对Z 随时间绘图
得到：

当$r = 5　r = 10$时，图形都会最终归于平静,只是时间略有不同，当$r = 25$，Z最终会出现混沌效应。

相空间中的lorenz model

这里直接考虑一个三维空间中的图形，在　$r = 25$　时，可以得到：

此时出现奇异吸引子，也就是Lorenz吸引子。这一图案颇似蝴蝶展翅，所谓混沌理论的“蝴蝶效应”之得名据说也与此吸引子的形状有关。

利用PS堆栈合成gif

相空间截面图

分别考虑了$x = 0　y = 0$的情况，得到如下的图形：

混沌与R值的关系

在改变r大小后，得到下图：

可以看出，在$r = 160$ 时，系统有着很好的周期性，但是随着r增大，系统的非周期性增强，混沌更加明显。