背景

本次作业编写程序解决棒球运动问题。棒球运动的特点是：球速高，球轨迹变化多。棒球在空中飞行时，其空气拖拽系数将严重依赖于速度，并且棒球旋转将使其受到额外的Magnus力，因而棒球的轨迹可以变得十分复杂。
本次作业主要解决课本2.19习题

棒球的飞行是典型的抛体运动，但是棒球在飞行过程中除受到重力作用外，还会受到空气阻力和因棒球旋转产生的Magnus力，一般来讲，棒球飞行轨迹由下述方程给出

$m{d\vec{r}^2\over dt^2}=m\vec{g}-B_2v^2\vec{v^0}+S_0\vec{v}\times\vec{w}$

其中m是棒球质量， $\vec{g}$ 是重力加速度， $\vec{v0}$ 是速度方向的单位矢量，w即棒球旋转角速度, $-B_2v^2\vec{v^0}$ 即空气阻力项, $S_0\vec{v}\times\vec{w}$ 即为Magnus力.在棒球速度范围内 $S_0$ 尚可认为基本是一常量，而则 $B^2$ 显著依赖于棒球的速度，按照教科书上所给近似，可将其写为

$B^2/m={0.0039+0.0058\over {1+e^{{v-35}\over 5}}}$

结合初始条件即可解得棒球飞行轨迹，但却难以给出解析解。利用欧拉法求其近似解，可给出其相应的差分方程为

只要知道棒球前一时刻的状态，就可通过上述方程给出下一时刻的状态，从而反复迭代最终获得棒球的整个运动轨迹,误差量级为 ${\Delta t}^2$ .

棒球运动的研究

1.空气阻力对棒球运动的影响
为研究空气阻力对棒球运动的影响，我们只需分别计算有、无阻力时棒球运动的情况即可。一般来说无阻力的棒球应该能飞得更远，下面的计算验证了这一点。我们取棒球初速度为110mph,发射角 $45^\circ$ ,Magnus力的系数则取为 ${S_0\over m}=4.1\times10^-10$
为确定步长dt的合理取值，我们分别用不同的步长计算了抛物结果，当步长逐渐减小时，结果逐渐收敛到一稳定结果，可以发现步长取0.10,0.005,和0.001时棒球轨迹不再明显变化，因此后面的计算中均取0.10。从图中可以发现:空气阻力大大减少了棒球的射程，有空气阻力时棒球轨迹明显低于无空气阻力的情况，另外，棒球的旋转对于其射程也有不小的影响。

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2.棒球在3d空间的运动
下面我们在三维空间中研究棒球的运动，

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结论

本次作业讨论了棒球的运动问题，讨论了棒球所受空气阻力和Magnus力对棒球运动的影响。其中前者的影响极为显著，将很大地减少棒球的射程，明显地改变棒球的轨迹，而后者也有不小的影响，如果棒球旋转适当，可以朝不同的方向发生偏移，因而给棒球运动带来很大的不确定性和娱乐性。

背景

m{d\vec{r}^2\over dt^2}=m\vec{g}-B_2v^2\vec{v^0}+S_0\vec{v}\times\vec{w}

B^2/m={0.0039+0.0058\over {1+e^{{v-35}\over 5}}}

棒球运动的研究

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结论

内容目录

$m{d\vec{r}^2\over dt^2}=m\vec{g}-B_2v^2\vec{v^0}+S_0\vec{v}\times\vec{w}$

$B^2/m={0.0039+0.0058\over {1+e^{{v-35}\over 5}}}$