计算物理第九次作业
->2013301020156 安莹

摘要

考虑非线性有耗散以及受到驱动力的摆所出现的混沌现象。

背景

混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
在之前的作业中讨论的是小角度情形下有阻尼力和驱动力的摆，而在大角度的情况下对之前的情况就得换一种计算方式。
在大角度的情况下$sin\theta$不能直接用$\theta$等价，所以此时单摆的运动方程变为：${d^2\theta\over dt^2}=-{g\over l}sin\theta-q{d\theta\over dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)$
上式可以写为：
${d\omega\over dt}=-{g\over l}sin\theta-q{d\theta\over dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)$
${d\theta\over dt}=\omega$
运用Euler-Cromer近似就可以得到：
$\omega_{i+1}=\omega_i+(-{g\over l}sin\theta-q{d\theta\over dt}+F_Dsin(\Omega_Dt))\Delta t$
$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t$
$t_{i+1}=t_i+\Delta t$
将t的取值范围限定在$[-\pi,+\pi]$内。

正文

code

通过python画出不同F_D值时的图像：
$\theta_0=0.2,t_0=0,\omega_0=0,l=9.8,g=9.8,dt=0.04,t=60,q=0$时

$\theta_0=0.2,t_0=0,\omega_0=0,l=9.8,g=9.8,dt=0.04,t=60,q=0.5$时

$\theta_0=0.2,t_0=0,\omega_0=0,l=9.8,g=9.8,dt=0.04,t=60,q=1.2$时

再选出$t\approx{2n\pi\over \Omega_D}$的点,图像为：

再选出$\omega\theta$不同相的点,$t\approx{{2n\pi+{\pi\over4}}\over \Omega_D}$时，图像为：

结论

在非线性驱动力下可以产生混沌现象

致谢

感谢刘星辰同学的代码