计算物理第八次作业
->2013301020156 安莹

背景

In the nonlinear pendulum of ${d^2\theta\over dt^2}={-g\over l}sin\theta$, use the Euler—Cromer or another suitable method to investigate the relationship between the amplitude and period numerically. Can you give an intuitive argument supporting your results?(2.19)
该方程的解可以写成$\theta=\theta_0sin(\omega t+\Phi)$,
其中
$\omega=\sqrt{{g\over l}}$
${d\omega\over dt}=-{g\over l}\theta$
${d\theta\over dt}=\omega$
运用Euler法对上式求近似:
$\omega_{i+1}=\omega_i-{g\over l}\theta_i$
$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_i \Delta t$
$t_{i+1}=t_i+\Delta t$
但是在运行中人们发现Euler方法在解决部分问题时会与实际结果拟合的比较好，但是在处理单摆问题时，一旦dt的值取得很大的话就会导致图像偏离理论值，所以在这时引进另一种近似，Euler-Cromer近似，对上式取近似：
$\omega_{i+1}=\omega_i-{g\over l}\theta_i$
$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1} \Delta t$
$t_{i+1}=t_i+\Delta t$
以上两种取近似的方法的区别主要在于的取值，Euler法计算时用的是$\omega_i$,而Euler-Cromer法计算时则是用的$\omega_{i+1}$,这样会使得后者在处理数据时会更稳定。

正文

code

picture

以上是经由两种理论得到的单摆曲线，图1 dt=0.01s,图2 dt=1s
从图像中也可以看出当dt取较大的值时Euler曲线已经严重偏离正弦曲线。

结论

在dt较大时用Euler—Cromer近似会比用Euler近似准确很多。