单摆的自由振动研究

姓名 安莹 学号 201330102156 班级 天眷班

摘要：该文对单自由度系统的振动进行了研究，给出了一种研究单自由度振动的方法，并以单摆的振动为例做了详细的说明。笔者将常微分方程运用到力学模型“单摆振动”的研究上，找到了单摆运动的一般规律。
关键词：单摆 阻尼 共振
正文：振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式，它既被广泛应用，又可带来危害。例如单摆的往复运动、弹簧的振动、乐器中弦线的振动、机床主轴的振动、电路中的电磁震荡等等。下面我以单摆为研究对象来讨论有关自由振动和强迫振动
振动是指系统在某一位置附近的往复摆动，如单摆的自由振动。最低点是小球的势能极小值点，也是小球的平衡位置，除非小球能刚好被禁止放在最低点，否则便会来回往复摆动。可以想象，如果没有任何空气阻力带来的能量损耗，这个小球将会永不停止地来回摆动下去，这就是无阻尼自由振动的模型；而实际中总是有空气阻力损耗能量，小球的摆幅将会越来越小，最终停在最低点位置，此为有阻尼自由振动；而如果不停地从外界给小球输入能量，激励小球运动，即使有空气阻力耗散能量，小球也能不停地运动下去，此为受迫振动。下面我们一一来看。
(1)无阻尼自由振动
分析小球受力即运动，则其无阻尼微小振动的方程为

$\frac{d^2\phi}{dt^2}+\frac{g}{l}\phi=0$ (1)

记，$\frac{g}{l}=\omega^2,$这里$\omega$>0是常数，(1)式可变为

$\frac{d^2\phi}{dt^2}+\omega^2\phi=0$ (2)

方程通解为

$\phi=c_2sin\omega t+c_1cos\omega t$ (3)

令 $sin\theta$=$\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}$ ， $cos\theta$=$\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}$ ，
因此，若取A=$\sqrt{c_1^2+c_2^2}$, $\phi=arctan\frac{c_1}{c_2}$

则式(3)可以改写为$\phi=\sqrt{c_1^2+c_2^2}(\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}cos\omega t+\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}sin\omega t)$=$A(sin\theta cos\omega t+cos\theta sin\omega t)=Asin(\omega t+\theta)$

从方程的解可以看出，不论反映摆初始状态的A 和为何值，摆的运动总是一个正弦函数，这种运动就是简谐振动，周期T=$\frac{2 \pi}{\omega}$，且摆的周期只依赖于摆长$l$，而与初值无关。
摆动周期

无阻尼振动
无阻尼振动图像
(2)有阻尼的自由振动
从上述解可以看到，无阻尼的自由振动是按正弦规律做周期运动，摆动似乎可以无限期的进行下去。但是，实际情况并非如此，摆总是经过一定时间的摆动后停下来，这是由于空气阻力的作用，其自由振动方程为：

$\mu\frac{d\phi}{dt}+\frac{g}{l}sin\phi=-m\frac{d^2\phi}{dt^2}$(4)

$\frac{d^2\phi}{dt^2}+\frac{\mu}{m}\frac{d\phi}{dt}+\frac{g}{ml}\phi=0$ (5)

记 $\frac{\mu}{m}=2n,\frac{g}{ml}=\omega^2这里n、\omega$是正常数，所以上式可以改写为

$\frac{d^2\phi}{dt^2}+2n\frac{d\phi}{dt}+\omega^2\phi=0$ (6)

它的特征方程为
$\lambda^2+2n\lambda+\omega^2=0$
特征根为 $\lambda_{1,2}=-n_-^+\sqrt{n^2-\omega^2}$
对于不同的阻尼值n，微分方程有不同形式的解，分别代表不同形式的运动形式，现分下面三种情况进行讨论：
①小阻尼的情形：
当时n$\lt\omega$，记$\omega_1=\sqrt{\omega^2-n^2}$，则$\lambda_{1,2}=-n_-^+\omega_1 i$，此时方程（6）的通解为

$\phi=e^{-nt}(c_2sin\omega_1 t+c_1cos\omega_1 t)$

和前面的无阻尼情形一样，可以把上式通解改写成如下形式：
$\phi=Ae^{-nt}sin(\omega_1 t+\theta)$ (7)
从式(7)可见，摆的运动已不是周期性的，振动的最大偏离随着时间的增加而不断减小，最后趋近于平衡位置，而从一个最大偏离到达下一个最大偏离所需时间为T=$\frac{2 \pi}{\omega}$ 。
②大阻尼的情形：
当n$\gt\omega$时，特征方程有两个不同的负实根，方程的通解为：
$\phi=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t}$ (8)
从式 (8)可以看出摆的振动也不是周期的，因为方程$c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t}=0$对于t最多只有一个解，因此摆最多只通过平衡位置一次，而

$\frac{d\phi}{dt}=c_1\lambda_1e^{\lambda_1 t}+c_2\lambda_2e^{\lambda_2 t}=e^{\lambda_1 t}(c_1\lambda_1+c_2\lambda_2e^{(\lambda_2-\lambda_1) t})$

当t足够大时，$\frac{d\phi}{dt}$的符号与$c_1$的符号相反。因此经过一段时间后，摆就单调地趋于平衡位置，因而在大阻尼的情形下，运动不再是周期性的，且不再具有振动的性质。
③临界阻尼的情形：
当n$=\omega$时，方程的通解为$\phi=e^{-nt}(c_1+c_2 t)$ (9)
从上式可以看出，摆的振动也不是周期性的，它的运动规律同样不具有振动的性质。
(1)无阻尼强迫振动
以上谈到的无阻尼和有阻尼振动都是自由振动，而当一个振动系统还经常受到一个外力的作用时，这种振动称为强迫振动。最常见的外力是按周期变化的，这里仅以以正弦规律变化的外力作用为例。
此时单摆微小强迫振动方程可写为

$\frac{d^2\phi}{dt^2}+\frac{\mu}{m}\frac{d\phi}{dt}+\frac{g}{l}\phi=\frac{1}{ml}F_{(t)}$ (10)

考查明无阻尼强迫振动，即$\mu$=0的情形。
令$\frac{g}{ml}=\omega^2$ ，设$\frac{1}{ml}F_{(t)}=Hsinpt$ 为已知常数，p为外力圆频率。这时(10)式变为$\frac{d^2\phi}{dt^2}+\omega^2\phi=Hsinpt$(11)
方程对应于其次线性微分方程的通解为
$\phi=Ae^{-nt}sin(\omega t+\theta)$
而方程有形如
$\phi=Mcospt+Nsinpt$
的特解，这里M,N为待定常数，与式(11)比较得
M=0,N=$\frac{H}{\omega^2-p^2}$
因此方程的通解为

$\phi=Asin(\omega t+\theta)+\frac{H}{\omega^2-p^2}sinpt$ (12)

显然，通解由两部分组成，第一部分是无阻尼自由振动的解，它代表固有振动，第二部分为振动频率与外力频率相同，而振幅不同的项，它代表由外力引起的强迫振动。我们还可以看出，如果外力圆频率p越接近固有频率，则强迫振动项的振幅就越大。
如果p=$\omega$，则方程的解为

$\phi=Asin\omega t-\frac{H}{2\omega t}tcos\omega t$ (13)

上式表示随着时间的增大，摆的偏离将无限增大，这种现象即为共振。但是，实际上，随着摆偏离的增加，到了一定程度，方程(13)就能描述摆的运动了。
(3)有阻尼的强迫振动
此时，摆的运动方程变为

$\frac{d^2\phi}{dt^2}+2n\frac{d\phi}{dt}+\omega^2\phi=Hsinpt$ (14)

根据事实，大阻尼时方程并不能很好地描述方程的运动，所以这里只讨论小阻尼的情形，即n$\lt\omega$，则方程(14)所对应的齐次线性微分方程上的通解为

$\phi=Ae^{-nt}sin(\omega_1 t+\theta)$

这里A为常数，（见（2）中有阻尼自由振动的情形①）
现求方程的一个特解，寻求形如
$\phi=Mcospt+Nsinpt$ (15)
的特解，这里M,N为待定常数，将式(15)代入(14)进行比较得

M=$\frac{-2npH}{(\omega^2-p^2)+4n^2p^2}$,N=$\frac{(\omega^2-p^2)H}{(\omega^2-p^2)+4n^2p^2}$

令 M=$h^*sin\theta^*$ ，$N=H^*cos\theta^*$

$H^*=\sqrt{M^2+N^2}=\frac{H}{(\omega^2-p^2)+4n^2p^2}$,$tan\theta^*=\frac{-2np}{\omega^2-p^2}$

这时，可得方程的通解

$\phi=Ae^{-nt}sin(\omega t+\theta)+\frac{H}{(\omega^2-p^2)+4n^2p^2}+sin(pt+\theta^*)$(16)

从式中我们可以看到，摆的运动由两部分叠加而成，第一部分是有阻尼的自由振动，第二部分是系统本身的固有振动，它随时间的增长而衰减。
下面，研究外力圆频率p取何值时所引起的强迫振动达最大。
从式(16)可看出，只需讨论p取何值能使$(\omega^2-p^2)^2+4n^2p^2$达最小即可。记

$\phi(p)=(\omega^2-p^2)^2+4n^2p^2$

将它对p求导$\phi\prime(p)=-4p(\omega^2-p^2)+8n^2p=0$

因此，只要$2n^\lt\omega^2$，即只要阻尼很小时，就解得
p=$\sqrt{\omega^2-p^2}$(17)
当p取此值时，我们有$\phi\prime\prime(p)=8p^2\gt0$，因而$\phi(p)$在

p=$\sqrt{\omega^2-2n^2}$时达到最小值。并可以得到相应的最大振幅为：

$H_{max}^*=\frac{H}{\sqrt{4n^2+4n^2(\omega^2-2n^2)}}=\frac{H}{2n\sqrt{\omega^2-n^2}}$

这种现象就是共振现象。

结论：通过对单摆各种情形的振动的研究，深入了解了系统的单自由度振动情况，并得出了各种情况下系统共振的条件，从而能便于我们控制系统的振动，发挥振动的优点，尽量减少振动的危害。

参考文献：
范钦珊 陈建平《 理论力学》（第二版）第十七章 离散系统的振动 高等教育出版社
倪振华 《振动力学》西安交通大学出版社
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致谢