矿池爆块收入与费率的统计学分析

矿池

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假设矿池算力占全网算力的$p$，即矿池获得爆块的几率：

$$p = \frac{\text{POOL_HASHRATE}}{\text{TOTAL_HASHRATE}}$$
矿池的爆块收入模型符合二项式分布$\mathcal{B}=(n,p)$ with parameters $n\in\mathbb{N}$ and $p\in[0,1]$, The probability of getting exactly $k$ successes in $n$ independent Bernoulli trials is given by the probability mass function:
$$f(k,n,p) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$$
假设在$n$个块以后，矿池挖到的区块数为$k$，数学期望应该为$np$，那么$\delta=|k-np|$，偏离百分比为$\sigma=|\frac{k}{np}-1|$，那么我们可以通过累加获得与数学期望偏移量超过$\sigma$的概率：
$$1 - \sum_{k=np-\delta}^{np+\delta}f(k,n,p)$$

当$np$足够大的时候，skewness可以忽略不计，为了便于计算，Binomial Distribution可以拟合为normal distribution

$$\mathcal{N}(np, np(1-p))$$
probability mass function:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$
where standard deviation $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$

在8.1-8.21对doge爆块28053个块的统计后，我们发现矿池打款的doge/ltc只有1766，而区块链上数据doge/ltc是1858,蚂蚁矿池莱特算力大约占全网算力的15%，1766比1858少了4.95%
对应上述建模，n约为28000，p=0.15，$\sigma=59.49, np=4200$，可以通过对pmf积分获得偏离值落在$4.95%$内的概率是$0.999485$,如果矿池没有费率，偏离超过这个值的概率不到万分之五。
积分结果可用wolfram快速获得：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+PDF%5BNormalDistribution%5B4200%2C+59.749%5D%2C+x%5D%2C+x+from+3392+to+4407
同样我们可以获得，在28000次块以后偏离值超过1%，2%，3%的概率分别为：48%，15.9%，3.496%