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@EtoDemerzel 2018-01-21T09:07:01.000000Z 字数 2990 阅读 2353

离散数学补充 群论(三)

离散数学 群论


Homomorphism 同态

  1. Definition: Let and be two groupoids be a function from to . If for all and in , , then:
    • is called a homomorphism from to
    • is homomorphic to , denoted by .
      is the homomorphic image(同态像) of .
      简单来说,就是映射之后的元素依然满足二元关系的对应。

  2. Definition: Let be a homomorphism from to
    • If is an onto满射,即陪域中任意元素 必有 存在) from to , that is is called an onto homomorphism from to .
    • If is a bijection(双射,又叫一一对应,one-to-one correspondence) from to
    • is called a isomorphism(同构) from to
    • is isomorphic to , or and are isomorphic, denoted by
  3. Example:
    QQ截图20171027170651.png-56.8kB
    如上图, 的作用是奇偶校验, 二元操作 将两个01串连接在一起。容易看出 是一个同态。
    Tips: 要证明是否同态
    • STEP 1. 找到对应关系
    • STEP 2. 证明
      若要证明是否同构,还需判断 是否为双射.(先判断是否单射,再判断是否满射)
  4. 对于满射同态单位元逆元也是对应的。如果 广群/半群/独异点/(或在其基础上加上交换的性质,即Abelian), 与之相同。
  5. Remember: 同构会保留群的所有性质,只要有性质不同,那么便不是同构。

Fundamental Homomorphism Theorem

  1. Theorem(Natural Homomorphism 自然同态):
    • Let be a congruence relation(即,则有) on a groupoid
    • be the corresponding quotient groupoid(即满足)
      Then
      the function defined by

      ( 对应其等价类)
      is an onto homomorphism, called the natural homomorphism.
    • 证明非常容易。
      对任意的, 在 中必存在,则,故 满射
      , 故为同态
  2. Theorem(Fundamental Homomorphism Theorem):
    • 是广群 到另一个广群 上的一个同态,且是满射
    • 上满足如下定理的关系:
      iff
      那么,
    • 同余关系.
    • 商广群 (商广群: 同构.
    • 证明如下:
      1.证明 同余关系: 首先 显然是等价关系。若 , 则。而 同态,故满足, 则, 同余关系.
      2.证明 同构的:定义,
      容易判断 是函数,并且满足单射,(单射是指不同的变量对应不同的值。如果有, 根据定义,, 则 ,我们已经证明 是等价关系,因此 )也满足满射,(由于 中的满射函数,容易知道 也是满射函数)。故 双射
      又因为 .
      综上所述,二者同构
    • 此定理可以用下图表示:
      image_1btu05m1rcjo17og39g1tj21t19p.png-8.4kB
      是自然同态,,因为

Normal subgroup

  • Definition: 是 群 的子群, 中, 的由 决定的左右陪集(The left and right coset of in ) 分别是如下集合:

    如果 都成立,那么子群 正规子群(Normal subgroup)
    Note: ,并不意味着对于 以及 就有 , 而应该是存在一个 , 使得

  • Theorem 1:如果 是 群 的一个有限子群, 那么 中的每个左陪集的元素个数都和 相同。

  • Theorem 2(拉格朗日定理):设 有限群 的子群,则阶(order,即元素个数) 整除G的阶。

    同余关系和正规子群:

  • 等价类和陪集

    以下定理说明,群 上的同余关系中 的等价类是正规子群:

  • Theorem 3 是群 上的同余关系, (即 这个等价类中包含单位元), 那么 的一个正规子群, 并且对于
    Notice: 商群 是由 的所有左陪集构成的。商群上的操作 定义为:
    定义为: 是从 上的一个同态。( 也写作 )

    以下的定理说明,任何一个正规子群,都是某一个同余关系上 的等价类:
  • Theorem 4 是群 的一个正规子群, 关系 iff 。 那么 是群 上的同余关系, 中的等价类
  • Corollary 是从群 到群 的一个同态并且是满射, 核(kernel), , 定义为 , 那么 的一个正规子群, 商群 同构。(根据Fundamental homomorphism theorem 2., 可定义同余关系 : , 容易知道 ;根据Theorem 3, 是正规子群, 同构。)
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