三维向量的应用

文化课

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其实这个是计算几何哒！
文化课真好.jpg

定性分析

线面平行

在面上找两条不共线的向量，如果该线能用这两个向量线性表示，则线面平行。
$\overrightarrow a \in \alpha, \overrightarrow b \in \alpha, \overrightarrow a \neq k \overrightarrow b, \overrightarrow l = \lambda \overrightarrow a + \mu \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow l // \alpha$

线面垂直

在面上找两条不共线的向量，如果与该线均垂直，则线面垂直。
$\overrightarrow a \in \alpha, \overrightarrow b \in \alpha, \overrightarrow a \neq k \overrightarrow b, \overrightarrow l \cdot \overrightarrow a = 0, \overrightarrow l \cdot \overrightarrow b = 0 \Rightarrow \overrightarrow l \perp \alpha$
坐标运算：
$\overrightarrow a = (x_1, y_1, z_1), \overrightarrow b = (x_2, y_2, z_2), \overrightarrow l = (x_0, y_0, z_0)$
则$x_1x_0 + y_1y_0 +z_1z_0 = 0$且$x_2x_0 + y_2y_0 + z_2z_0 = 0$

定量分析

法向量

法向量是与一个面垂直的向量。
求法：设出法向量$\overrightarrow n = (i, j, k)$， 然后带入线面垂直的公式，设其中一个变量的值，即可求出法向量
例如，如果$\overrightarrow a = (x_1, y_1, z_1), \overrightarrow b = (x_2, y_2, z_2)$
则

$$\left\{\begin{matrix}x_1i + y_1j +z_1k = 0\\x_2i + y_2j + z_2k = 0 \end{matrix}\right.$$
可以解出i, j, k之间的关系，随便设一个即可求出法向量

求角度

异面直线所成角

直接带公式即可
$\cos \theta = \dfrac{|\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b|}{|\overrightarrow a| \cdot |\overrightarrow b|}$

线面角

线与面之间的角的正弦值就是线与法向量的夹角的余弦值
$\sin \theta = \dfrac{|\overrightarrow a \cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow a| \cdot |\overrightarrow n|}$

二面角

二面角为法向量的夹角或者补角，需要具体分析。
如果一个面法向量在沿公共棱旋转之后(可以想象为将书页合上)能够与另一个面的法向量重合则表明为夹角。

$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow m}{|\overrightarrow n| \cdot |\overrightarrow m|}$

求距离

点线距

$T$为线外一点，$Q$为线上一点，$\overrightarrow n$为方向向量，则

$$d = QT \cdot | \sin <\overrightarrow{QT}, \overrightarrow n>| = QT \cdot \sqrt{1 - \cos <\overrightarrow{QT}, \overrightarrow n>^2}$$
其中，
$$\cos <\overrightarrow{QT}, \overrightarrow n> = \dfrac{|\overrightarrow {QT} \cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow {QT}| \cdot |\overrightarrow n|}$$
然而这样是很复杂的，我们可以引入一个概念：叉积
$\overrightarrow n \times \overrightarrow m$表示一条方向在右手系中符合右手定则、模为$|\overrightarrow n||\overrightarrow m|\sin \theta$的向量
坐标运算：
如果$\overrightarrow n = (x_1, y_1, z_1), \overrightarrow m = (x_2, y_2, z_2)$，那么$\overrightarrow n \times \overrightarrow m = (y_1z_2 - y_2z_1, x_2z_1 - x_1z_2, x_1y_2 - x_2y_1)$
从而，
$$d = QT \cdot | \sin <\overrightarrow{QT}, \overrightarrow n>| = QT \cdot \dfrac{|\overrightarrow {QT} \times \overrightarrow n|}{|\overrightarrow {QT}| \cdot |\overrightarrow n|} = \dfrac{|\overrightarrow {QT} \times \overrightarrow n|}{|\overrightarrow n|}$$

平行直线之间的距离

可以找一点然后求解点线距

异面直线之间的距离

首先引入公共法向量的概念。
两条直线的公共法向量是与两条直线同时垂直的向量，解法可以直接联立：
如果$\overrightarrow a = (x_1, y_1, z_1), \overrightarrow b = (x_2, y_2, z_2), \overrightarrow n = (i, j, k)$
则$\left\{\begin{matrix}x_1i + y_1j +z_1k = 0\\x_2i + y_2j + z_2k = 0 \end{matrix}\right.$，同求解平面的法向量的过程。
在$a, b$上任取两点$Q,T$，设$\overrightarrow{QT} = (x_0, y_0, z_0)$，则$d = QT \cdot | \cos <\overrightarrow{QT}, \overrightarrow n>| = |\overrightarrow {QT}| \cdot \dfrac{|\overrightarrow {QT} \cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow {QT}| \cdot |\overrightarrow n|} = \dfrac{|\overrightarrow {QT} \cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow n|}$

点到面的距离

$Q$为面外一点，在面上任取一点$T$，面的法向量为$i$
那么显然
$d = QT \cdot | \cos <\overrightarrow{QT}, \overrightarrow n>| = |\overrightarrow {QT}| \cdot \dfrac{|\overrightarrow {QT} \cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow {QT}| \cdot |\overrightarrow n|} = \dfrac{|\overrightarrow {QT} \cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow n|}$
其实和上面那个是一样哒！

平行于面的直线到面的距离、平行平面间的距离

找一个点求即可。

一道周考骚题

三条异面直线$a, b, c$，与直线$l$所成夹角为$\alpha, \beta, \gamma$，试求$\alpha, \beta, \gamma$之间的关系，并说明理由。