题解！变态的国大班三角函数测试

笔记

前言

其实都没那么难……然而第一题就吓懵了(其实看到卷子的题目就吓懵了），一懵懵了四十分钟。
过程可能不太严谨，LaTeX太累手了，有些地方可能打错，欢迎指正！

1. $已知α，β均为锐角，且{cos(α+β)=\frac{sin\alpha}{sin\beta}}, 则tan\alpha最大值是?$

   $sin\alpha = sin\beta cos(\alpha+\beta) = \frac{1}{2}[ sin(\alpha + 2\beta)-sin\alpha]$
   $∴3sin\alpha = sin(\alpha+2\beta)=sin\alpha cos2\beta + cos\alpha sin2\beta$
   $∴sin\alpha(3-cos2\beta)=cos\alpha sin2\beta$
   $∴tan\alpha = \frac{sin2\beta}{3-cos2\beta}$
   用万能公式展开这些"2β",得到
   $tan\alpha = \frac{tan\beta}{1+2tan^{2}\beta}$
   设$tan\alpha=y, tan\beta = t$
   $y = \frac{t}{2t^{2}+1}$
   分母乘过去，$\Delta ≥ 0$得
   $1-8y^{2} ≥ 0$
   $∴|y| ≤ \frac{\sqrt{2}}{4}$

2. 定义在区间[a,b]上的函数$f(x)=\frac{1}{2}sinx - \frac{\sqrt{3}}{2}cosx$的值域是$[-\frac{2}{1},1]$,则b-a 的最大值M和最小值m的差是？

   $f(x) = sin(x - \frac{\pi}{3})$
   画图可解。

3. 在$\triangle ABC中，若3cos^{2}\frac{A-B}{2}+5cos^{2}\frac{C}{2}=4$，则tanC的最大值为？

   $3cos^{2}\frac{A-B}{2}+5cos^{2}\frac{C}{2}=4$里面有这么多公式形啊，整理整理：
   $\frac{3}{2}[cos(A-B)+1]+\frac{5}{2}(1+cosC)=4$
   再整理一下：
   $3cos(A-B)-5cos(A+B)=0$
   正常地展开两个cos以后，惊奇地（并不）发现：
   $tanAtanB=\frac{1}{4}$
   接下来大胆地算：
   $tanC$
   $= -tan(A+B)$
   $= -\frac{tanA + tanB}{1-\frac{1}{4}}$
   $= -\frac{4}{3}(tanA + tanB)$
   还记得$(a-b)^2>=0$这个看起来简单的公式么……
   由它推出了$|a+b| ≥ 2\sqrt{ab}$
   又因为tanAtanB同号，在三角形中，所以只能同正
   所以$tanA+tanB≥1$
   所以$tanC ≤ -\frac{4}{3}$

4. 在锐角$\triangle ABC$中，$b^2-a^2=ac$, 则$\frac{1}{tanA}-\frac{1}{tanB}$的取值范围是？

   $b^2=a^2+ac$, $b^2=a^2+c^2-2accosB$
   ∴$a + 2acosB = c$
   张军老师会认为这个式子又有角又有边，看着非常不和谐，所以我们要把边化成sin
   $sinA + 2sinAcosB = sin(A+B)$
   展开sin(A+B)再整理一下，又一次惊奇地发现
   sinA = sin(B-A)
   要么A + B - A = π（舍）
   要么B = 2A
   ∴$\frac{1}{tanA}-\frac{1}{tanB}$
   $= \frac{cosA}{sinA}-\frac{cos2A}{sin2A}$
   展开，
   $= \frac{1}{sin2A}$
   因为锐角三角形，三个角都要在(0,90°)，所以
   $2A \in (60°, 90°)$
   带入得
   $原式 \in (1, \frac{2\sqrt{3}}{3})$

5. 为得到函数$y=sin(x+\frac{\pi}{3})$ 的图像，可以将函数$y=sinx$ 的图像向左平移m个单位或向右平移n个单位(m, n 都是正数)，则|m-n|最小值是？

   这题不要想当然……（然而似乎并没有人会和我一样蒻得写了个三分之四π）
   向左平移：$m = 2a\pi + \frac{\pi}{3} (a \in N)$
   向右平移：$n = 2b\pi + \frac{5\pi}{3} (b \in N)$
   所以$|m-n| = |2(a-b)\pi -\frac{4\pi}{3}|$
   当$a-b=1$时，$|m-n| = \frac{2\pi}{3}$。

6. 在$\triangle ABC$中，已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A, 且c=$\sqrt{7}, C=\frac{\pi}{3}$, 则$\triangle ABC$ 的面积是？

   每一步都要小心坑呐！
   首先由题中的式子得出：
   $sinBcosA=3sinAcosA$
   所以：$A=\frac{\pi}{2}$ 或 $b = 3a$
   第一种直接计算即可，第二种可带入余弦定理，
   最后算出$S=\frac{7\sqrt{3}}{6} 或 \frac{3\sqrt{3}}{4}$

7. 已知平面四边形ABCD为凸四边形，且AB=2, BC = 4, CD = 5, DA = 3, 则四边形ABCD的面积的最大值是？

   我们把四边形ABCD分成两个三角形：$\triangle ABD 和 \triangle CBD$
   则四边形面积是两个三角形面积的和：
   $S = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot AD \cdot sinA + \frac{1}{2}\cdot CB \cdot CD \cdot sinC$
   带入整理得
   $S = 3sinA + 10cosC$ ①
   在两个三角形中使用余弦定理表示BD：
   $BD = 13 - 12cosA = 41 - 40cosC$
   整理得
   $-7 = 3cosA - 10cosC$ ②
   诶？这两个式子怎么长得这么像呢？
   $①^2 + ②^2$ 得
   $S^2 = 60(1-cos(A+C))$
   当A+C = π时，S最大，为$2\sqrt{30}$。

8. 锐角$\triangle ABC$ 中，若$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 6cosC$, 则$\frac{tanC}{tanA} + \frac{tanC}{tanB}$ 的值是？

   ∵$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 6cosC$
   ∴$a^2+b^2=6abcosC$
   ∴$c^2 = 4abcosC$
   ∴$sin^2C= 4sinAsinBcosC$
   ∴$tanC = 4\frac{sinAsinB}{sinC}$
   $\frac{tanC}{tanA} + \frac{tanC}{tanB}$
   $= tanC\frac{sinAcosB + sinBcosA}{sinAsinB}$
   $= tanC \cdot \frac{4}{tanC}$
   $= 4$

作者：胡小兔
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