@RabbitHu 2017-07-09T11:40:09.000000Z 字数 577 阅读 5486

完全弹性碰撞速度公式的推导

学习-物理

目标

求两物体完全弹性碰撞后速度公式。

物体	质量	速度（碰撞前）	速度（碰撞后）
$1$	$m_1$	$v_1$	$v'_1$
$2$	$m_2$	$v_2$	$v'_2$

根据动量定理和动能定理，有：

①

$①m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2$

②

$②\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1{v'}_1^2+ \frac{1}{2}m_2{v'}_2^2$

设 $k = \frac{m_2}{m_1}$ , 则①、②式分别除以 $m_1$ 得：

③

$③v_1 + kv_2 = v'_1 + kv'_2$

④

$④v_1^2 + kv_2^2 = {v'}_1^2 + k{v'}_2^2$

③④式变形，得：

⑤

$⑤v_1 - v'_1 = k(v'_2 - v_2)$

⑥

$⑥(v_1 + v'_1)(v_1 - v'_1) = k(v'_2 + v_2)(v'_2 - v_2)$

⑥÷⑤得：

⑦

$⑦v_1 + v'_1 = v'_2 + v_2$

③+⑦得：

$v'_2 = \frac{2}{k+1}v_1 + \frac{k-1}{k+1}v_2$
将

$k = \frac{m_2}{m_1}$ 代入得：

$v'_2 = \frac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1 + m_2}$
同理：

$v'_1 = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2}$

完成！