三角函数值域问题（一题多解）

数学 笔记

形如 $f(x)=\frac{a\sin x+c}{b\sin x+d}$的函数

例：求函数$f(x)=\frac{\sin x+3}{2\sin x+1}$ 的值域。

1，蒟蒻法

设t = sin x，画个图像！

$\because t \in [-1, 1]$
∴值域为$(-\infty , -2]\cup [\frac{4}{3}, +\infty)$

2，不想画图法

$y=\frac{\sin x+3}{2\sin x+1}$

还是设t = sin x, 分母乘过去，获得：
$2yt + y = t + 3$
$t = \frac{3-y}{2y-1}$

$\because t \in [-1, 1]$
$\therefore \frac{|3-y|}{|2y-1]} \le 1$
$(3-y)^2 \le (2y-1)^2$
$y \in -\infty , -2]\cup [\frac{4}{3}, +\infty)$

3，不仅不想画图还想装逼法

同上，求出$-1 \le \frac{3-y}{2y-1} \le 1$后，发挥超常的想象力，联想一下:
$a \le x \le b \leftrightarrow (x-a)(x-b)<0$

于是改造一下$-1 \le \frac{3-y}{2y-1} \le 1$这个式子：
$(\frac{3-y}{2y-1} + 1)(\frac{3-y}{2y-1} - 1) < 0$

等式两边同乘$(2y-1)^2$：
$(3-y + 2y-1)(3-y - 2y+1) < 0$

虽然计算量和上面那个方法也差不多但是看起来很高端啊！
//而且适用范围也更广

形如$f(x)=\frac{a\sin x + c}{b\cos x + c}$的函数

例：求函数$f(x) = \frac{2-\sin x}{2-\cos x}$的值域。

1，几何意义法

设P(cosx, sinx), Q(2, 2), PQ: y = kx + b
则题中f(x)为PQ斜率。//提起斜率我想到的居然是斜率优化……
则：
$2k+b=2$
$\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}} = 1$

求出来下图这两条直线

∴$y \in [\frac{4-\sqrt7}{3}, \frac{4+\sqrt7}{3}]$

2，代数法（辅助角公式法）

还是把分母乘过去：
$2y - y\cos x = 2 - sinx$

化简得：
$\frac{2-2y}{\sqrt{y^2+1}} = \sin(x+\phi), \phi为一个角$

所以:
$\frac{2-2y}{\sqrt{y^2+1}} \le 1$

∴$y \in [\frac{4-\sqrt7}{3}, \frac{4+\sqrt7}{3}]$

3, 闲得发慌之万能公式法

略……//太长了。