The 8th homework : Routes to Chaos

摘要

在本次作业中，进一步讨论了混乱 - 周期倍增现象。 更改驱动振幅的值$F_D$，摆动周期也会改变。 本次练习仍然使用庞加莱截面和分叉图来分析w和θ之间的关系。

背景

混沌是由确定性经典力学支配的古典系统中不可预测的现象混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。庞加莱庞加莱剖面和分叉图是提出和调查混乱的两种方式。在数学中，特别是在动力系统中，分叉图示出了作为系统中的分叉参数的函数的系统的渐近值。（固定点，周期性轨道或混沌吸引子）。通常用实线表示稳定的值，用虚线表示不稳定的值，通常会省略不稳定点。 分岔图使分叉理论可视化。

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\text{sin}\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_D\text{sin}(\Omega_Dt)$$

正文

题目

Calculate the Poincare section for the pendulum as it undergoes the period_doubling route to chaos. Plot versus θ, with one point plotted for each drive cycle, as in Figure 3.9. Do this for $F_D$=1.4, 1.44, and 1.465, using the other parameters as given in connection with Figure 3.10. You should find that after removing the points corresponding to the initial transient the attractor in the period-1 regime will contain only a single point. Likewise, if the behavior is periodn, the attractor will contain n discrete points.

解：

在上一次，我们刚刚给出的结果当F_D小于1.2，现在我讨论在个不同的驱动幅度值$F_D$下，以时间为变量的函数θ的结果。

$$θ\; versus\; time \qquad F_D=1.4$$
$$θ \; versus \; time \qquad F_D=1.44$$
$$θ \; versus \; time \qquad F_D=1.465$$
$$w\; versus \; θ \qquad F_D=1.4$$
$$w \; versus\; θ \qquad F_D=1.44$$
$$w\; versus \; θ \qquad F_D=1.465$$
$$F_D=1.4$$
$$F_D=1.44$$
$$F_D=1.465$$

结论

我们看到，在在$w\; versus \;θ$关系中，分别有一个点、两个点、4个点。 因此，我们可以推测，如果行为是周期n，吸引子将包含n个离散点。
通过解决振荡运动的问题，我们可以更好的了解混沌效应。此外，计算机和Euler-Cromer是很好的解决问题的工具。

致谢

1.感谢杨宗蒙、吴帆帆
2.Meerschaert, 《数学建模与分析方法（第一版）》，机械工业出版社
3.Nicholas J.Giordano, Hisao Nakanishi.Computational physics.清华大学出版社