用轨道能量分析Kirkwood Gap的缝宽

$\qquad$$\qquad$$\qquad$武汉大学物院材料班 $\qquad$胡胜勇 $\qquad$ 2014301020090

摘要

本文研究的是 $The\;Kirkwood\;Gap$，通过分析小行星的轨道能量的变化来找出 Kirkwood Gap，并对相关的方法作出了更正和讨论。小行星的轨道能量由其动能和引力势能两项构成。因此，当小行星的轨道恰好在可以发生轨道共振的轨道时，其轨道能量就会有较大幅度的波动。本文正是要通过这种轨道能量的波动来寻找Kirkwood Gap的有效宽度。

背景

From Wikipedia, the free encyclopedia
A Kirkwood gap is a gap or dip in the distribution of the semi-major axes (or equivalently of the orbital periods) of the orbits of main-belt asteroids. They correspond to the locations of orbital resonances with Jupiter.
For example, there are very few asteroids with semimajor axis near 2.50 AU, period 3.95 years, which would make three orbits for each orbit of Jupiter (hence, called the 3:1 orbital resonance). Other orbital resonances correspond to orbital periods whose lengths are simple fractions of Jupiter's. The weaker resonances lead only to a depletion of asteroids, while spikes in the histogram are often due to the presence of a prominent asteroid family (see List of asteroid families).
The gaps were first noticed in 1866 by Daniel Kirkwood, who also correctly explained their origin in the orbital resonances with Jupiter while a professor at Jefferson College in Canonsburg, Pennsylvania.
Most of the Kirkwood gaps are depleted, unlike the mean-motion resonances (MMR) of Neptune or Jupiter's 3:2 resonance, due to the overlapping of the ν5 and ν6 secular resonances within the mean-motion resonances. The orbital elements of the asteroids vary chaotically as a result and evolve onto planet-crossing orbits within a few million years. The 2:1 MMR has a few relatively stable islands within the resonance, however. These islands are depleted due to slow diffusion onto less stable orbits. This process, which has been linked to Jupiter and Saturn being near a 5:2 resonance, may have been more rapid when Jupiter's and Saturn's orbits were closer together.3
More recently, a relatively small number of asteroids have been found to possess high eccentricity orbits which do lie within the Kirkwood gaps. Examples include the Alinda family and the Griqua family. These orbits slowly increase their eccentricity on a timescale of tens of millions of years, and will eventually break out of the resonance due to close encounters with a major planet.
The most prominent Kirkwood gaps are located at mean orbital radii of:
$● 2.06 AU (4:1 resonance)$
$● 2.82 AU (5:2 resonance)$
$● 2.95 AU (7:3 resonance)$
$● 3.27 AU (2:1 resonance), home to the Griqua family of asteroids.$
Weaker and/or narrower gaps are also found at:
$● 1.9 AU (9:2 resonance)$
$● 2.25 AU (7:2 resonance)$
$● 2.33 AU (10:3 resonance)$
$● 2.71 AU (8:3 resonance)$
$● 3.03 AU (9:4 resonance)$
$● 3.075 AU (11:5 resonance)$
$● 3.47 AU (11:6 resonance)$
$●3.7 AU (5:3 resonance).$

Kirkwood Gap（柯克伍德空隙）是是主带小行星轨道半长轴（或相当于轨道周期）分布的间隙或倾角。半长轴如下图所见，它们对应于木星的轨道共振的位置。
举例说，非常少的小行星，半长轴接近2.50AU，周期3.95年，这将使每个轨道的木星有三个轨道（因此，称为3：1轨道共振）。其他轨道共振对应于轨道周期，其长度是木星的简单分数。较弱的共振只导致小行星的耗尽，而直方图中的尖峰通常是由于存在着一个突出的小行星族（见小行星家族列表）。这些空隙是丹尼尔·柯克伍德在1857年首先注意到的，他也正确的解释了空隙是来自于木星的轨道共振。 由于平均运动共振内的ν5和ν6长期共振的重叠，大多数Kirkwood缺口被耗尽，与海王星或木星的3：2共振的平均运动共振（MMR）不同。小行星的轨道元素在混沌中变化，并在几百万年内发展到行星交叉轨道。然而，2：1 MMR在谐振内具有几个相对稳定的岛。这些岛由于缓慢扩散到较不稳定的轨道上而耗尽。这个与木星和土星接近5：2共振的过程可能会更快，当木星和土星的轨道更接近。
最近，已经发现相对少量的小行星具有位于Kirkwood间隙内的高偏心率轨道。例子包括Alinda家族和Griqua家族。这些轨道在数千万年的时间尺度上缓慢地增加它们的偏心率，并且最终将由于与主要行星的紧密相遇而突破共振。

图一：Histogram showing the four most prominent Kirkwood gaps and a possible division into inner, middle and outer main-belt asteroids:
$\color{blue}{■}$ inner main-belt (a < 2.5 AU)
$\color{orange}{■}$ middle main-belt (2.5 AU < a > 2.82 AU)
$\color{lime}{■}$ outer main-belt (a > 2.82 AU

图二：Relation between Jovian orbital resonance and the distance from the Sun in Kirkwood gaps

小行星的轨道能量由其动能和引力势能两项构成。因此，当小行星的轨道恰好在可以发生轨道共振的轨道时，其轨道能量就会有较大幅度的波动。本文正是要通过这种轨道能量的波动来寻找Kirkwood Gap的有效宽度。

正文

小行星的运动方程

考虑到木星对小行星的引力作用，根据牛顿第二定律，小行星的运动学方程为：

$$\overrightarrow{a}=-\frac{GM_S}{r_{as}^3}\overrightarrow{r_{as}}-\frac{GM_j}{r_{aj}^3}\overrightarrow{r_{aj}}$$
其中$r_{as}$为小行星到太阳的距离，$r_{aj}$为小行星到木星的距离。由于木星的质量远远小于太阳的质量，所以第二项相当于一个微扰。而在忽略木星的影响的情况下，小行星的运动可以近似看成是圆轨道，因而我在计算小行星初始位置与初始速度的时候有以下关系式：
$$v_0=\sqrt{\frac{GM_S}{R_0}}$$

图三：左图为没有木星的时候，半长轴为3.27AU的小行星与太阳之间距离的分布，中间为半长轴为3.10AU并且考虑到木星影响时候的情况（没有轨道共振），右图是发生1:2轨道共振的情况。

轨道共振

轨 道共振是天体物理中的一种現象，是当在轨道上的天体与周期上有简单（小数值）的整数比時，定期施加的引力影响到对方所产生的效应。轨道共振的物理原理在概 念上类似于推动儿童荡的秋千，轨道和摆动的秋千之间有着一个自然频率，其它机制和“推”所做的动作周期性的重复施加，产生累积性的影响。轨道共振大大的增 加了相互之间引力影响的机构，即它们能够改变或限制对方的轨道。在多数的情況下，这导致“不稳定”的互动，在其中的两者互相交换动能和转移轨道，直到共振 不再存在。
Kirkwood Gap主要是木星与太阳对小行星主带上的小行星的引力作用导致轨道共振而产生的。
如图2所示，当小行星发生轨道共振的时候，其运动的轨道发生强烈的波动。因此，我利用小行星的轨道能量来分析这种波动，由此来找出Kirkwood Gap以及其有效的缝宽。

轨道能量

首先我们写出小行星运动的哈密顿量（只考虑太阳和木星的引力作用）：

$$H=\frac{p^2}{2m}-\frac{GM_SM_a}{r_{as}}-\frac{GM_jM_a}{r_{aj}}$$
这里我只取前两项作为小行星的轨道能量，这也与我们平时考虑绕一颗大质量恒星转动的行星时候的轨道能量形式一致。因为木星的质量（~$10^{27}kg$）远小于太阳的质量（~$10^{30}kg$），因此第三项对能量的影响很小。所以我在分析轨道能量的时候不考虑第三项的贡献。
因此，轨道能量$E_0$:
$$E_0=\frac{p^2}{2m}-\frac{GM_SM_a}{r_{as}}$$
在圆轨道的近似下，我们可以把轨道能量$E_0$的表达式化简为：
$$E_0=-\frac{GM_SM_a}{2r_{as}}$$
如果小行星是处在稳定的轨道，其轨道能量应该是一个固定的值。由于木星的出现，小行星的运动受到扰动，其轨道能量一定会有扰动，而发生轨道共振的时候，这种扰动会达到一个极大值。
因为当轨道共振发生的时候，小行星与太阳之间的距离的波动远远大于没有发生轨道共振的情况（如图2所示），即相当于小行星在不断地改变自己的运动轨道。在越靠近共振轨道时，小行星越难保持原来的轨道运行，因此轨道能量波动的幅度与波动的周期都比远离共振轨道的情况要大。

图四：能量为负意味着小行星运动的轨道是圆轨道或者是椭圆轨道。左图是没有发生轨道共振的情况，而右图则是发生1：2轨道共振的情况。两图都是模拟运行了400yr的结果。

图五：从图3的结果中挑选出极大值的数据，可见当轨道共振发生的时候，轨道能量波动的周期远远大于没有发生轨道共振的时候。
由图可见，当小行星发生轨道共振的时候，轨道能量会发生较大的波动。特别地，在1:2轨道共振的时候，轨道能量还会有一种周期性，我将通过分析这种周期性来找出1:2轨道共振的Kirkwood Gap的宽度。

1:2轨道共振与相应的Kirkwood Gap

现在考虑1：2轨道共振的情况，所谓的1：2共振就是指小行星的轨道周期刚好是木星轨道周期的一半。该处拥有非常明显的轨道共振，同时是Griqua家族小行星的主要来源地。该位置的参数为：

物体	轨道半径（AU）	初始速度（AU/yr）
小行星	3.276	3.471

同时，因为在计算小行星的速度与位置的时候，并不需要用到小行星的质量，而小行星对木星的引力效应相对于太阳对木星的影响是可以完全忽略的，因而我在程序中取小行星的质量为1kg。另外程序中取太阳质量为$2.0×10^{30}$kg，木星质量为$1.9×10^{27}$ kg，时间间隔为0.001yr。

图六：3.276AU及其附近的小行星的运动轨迹。图中为模拟运行200年的结果。

正如如图四所示，但小行星的初始位置越靠近共振轨道位置的时候，轨道能量波动的周期逐渐变大。因此，我把理论1：2共振位置附近的轨道能量波动周期找出来，如下图所示：

图气：3.276AU附近的轨道共振情况。图中的横坐标是小行星与太阳的初始距离，而纵坐标是轨道能量波动的周期。

可见实际的轨道共振距离要比理论值的严格1：2共振位置3.276AU要 稍大一些。其原因可以分析如下：尽管在1/2周期的位置，小行星运动的周期与木星运动周期匹配的较好，但是当r增加时，小行星离木星更近，因而每次摄动更 强，综合考虑这两方面的因素，才能得到实际的共振峰位置。如上图所示，1：2轨道共振处的缝宽约为0.115AU。

图八：左图为理论1:2轨道共振处（3.276AU）的小行星运动轨迹，右图为数值模拟得到共振最强烈处（3.29AU）的小行星运动轨迹。可见理论轨道共振处的小行星轨道偏离程度确实没有模拟结果处的偏离程度高。（图中为模拟运行200yr的结果）。

其他位置的Kirkwood Gap

重复上面讨论的方法，下面我们来讨论其他位置的Kirkwood Gap的情况。首先我们来看3：7理论轨道共振处的情况。

图九：左图为3.00AU处（即3：7轨道共振的理论共振处）的小行星的运动轨迹，右图为3.08AU处小行星的运动轨迹。此时，小行星并没有1：2轨道共振那样明显的偏离轨道现象。

同样地，我把不同位置处的轨道能量振动的周期找出，如下图所示：

图十：3.00AU附近的轨道共振情况。图中的横坐标是小行星与太阳的初始距离，而纵坐标是轨道能量波动的周期。

可见在3：7处的轨道共振情况与1：2处截然不同，这里并没有明显的轨道 共振峰，但是轨道能量振动的周期在这里发生了突变。在这个陡坡的两侧，轨道能量振动的周期都是处于一个相对稳定的状态。（同时我们也可以从图5中看 出，3：7处的轨道共振远比1：2处的轨道共振要稳定。这也是因为这里离木星较远，木星引力的影响更小所导致的。）因此，位于此处的小行星更趋向于运动到 周边两个更为稳定的运动状态，这就是这里产生了空隙的原因。图9表明在3：7处的轨道共振的缝宽约为0.01AU。
2：5处理论轨道共振处的情况如下：

图十一：这是2.85AU处小行星的运动情况。左图为模拟运行200yr小行星的运动轨迹，右图为模拟运行400yr小行星与太阳距离的分布。

上图表明，在2：5处跟3：7处的轨道共振的情况类似，小行星的轨道依然没有像1：2处那样存在着巨大的轨道偏离。即使是模拟运行了200年，小行星依然基本保持了原来的类圆轨道。因此，我们可以相信在2：5处轨道共振产生空隙的原因跟3：7处产生空隙的原因是一致的。

结论

本 文讨论了木星对小行星带主带的引力影响问题，当木星的轨道周期与小行星的轨道周期有着简单的整数比的时候，会导致小行星的轨道共振，最终产生了 Kirkwood Gaps，即在小行星带上有些位置只存在着少量的小行星。正是由于这种共振现象的存在，使得小行星运动的轨迹与原轨迹发生了偏移。因而，我通过分析小行星 的轨道能量，比较不同初始位置导致轨道能量随着时间的变化情况，给出了1：2附近轨道共振与3：7附近轨道共振的结果，并且对这两处轨道共振表现出的差异 进行了比较和分析。
另外，长时间模拟的结果表明，虽然这些轨道共振的地方是不稳定点，但小行星并不会离开空隙很远的地方。因而单靠木星的引力作用并不足以解释为何小行星带上出现了空隙。

参考文献

1. Wikipedia contributors. "Kirkwood gap." Wikipedia, The Free Encyclopedia. Wikipedia, The Free Encyclopedia, 28 Feb. 2016. Web. 14 May. 2016.
2. Wikipedia contributors. "Orbital resonance." Wikipedia, The Free Encyclopedia. Wikipedia, The Free Encyclopedia, 4 Jun. 2016. Web. 11 Jun. 2016.
3. Giodano, N.J., Nakanishi, H. Computational Physics. Tsinghua University Press, December 2007.
4. 陈锋，Exercise 12: Chapter 4 Problem 4.18: The Kirkwood Gap, https://www.zybuluo.com/355073677/note/377276, May 14, 2016

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附：A record of planet migration in the main asteroid belt