关于平行一次函数的距离问题

一般规律

一次函数距离图片
对于两个平行一次函数 $f_1(x)=kx+b$ 和 $f_2(x)=kx+c$，其距离 $d=\frac{|b-c|}{\sqrt{k^2+1}}$

证明

准备工作

如图，
作过原点的 $f_3⊥f_1$，交$f_1$于$A$，交$f_2$于$B$，$f_3(x)=-\frac{1}{k}$；
作过点$A$的直线 $AD⊥x轴$，交$f_2$于$D$；
$∠BAD=θ_1$，与图中$θ_2$相等

分步证明

①

易得，$AD=|b-c|$
$AB\\ =AD×\cos{θ_1}\\ =|b-c|×\cos{θ_1}$

②

根据 $θ_1=θ_2$，可得上图
$tanθ=k$
$cosθ=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$

③

综合①②，可得

$$\begin{split} d&=AB\\ &=AD×{\cosθ}\\ &={|b-c|}×{\cosθ}\\ &={|b-c|}×{1 \over \sqrt{k^2+1}}\\ &={|b-c| \over \sqrt{k^2+1}}\\ Q.E.D. \end{split}$$