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@ArrowLLL 2017-04-06T10:57:33.000000Z 字数 1413 阅读 1799

组合数学笔记之二——“二项式系数”

数学 组合数学


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Pascal公式

对于满足 的所有整数 ,都有

pascal三角形 :

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

该三角形中的每一项,但不是出现在左边和右边倾斜上等于1的项,通过把上一行的两项加在一起而得到:一项在其直接上方而另一项位于其左边。这和上面的pascal公式是对应的。由此还能得到

  1. 对称关系:
  2. 二项式系数恒等式:

    • 一列上 是计数数
    • 一列上的数 是所谓的三角形数
    • 一列上的数 是所谓的四面体数。

可以对Pascal三角形做出另一种解释。令n是一个非负整数,并令k为满足 的整数。定义 为从左上顶点(项C(0, 0) = 1)到项C(n, k)的路径数,其中,在每一条路径,从一项移动到该项下一行在其直接下方的项或其直接右下方的项。于是Pascal三角形的项C(n, k)的值代表从左上角到这项的路径的条数。

二项式定理

定理一: 令n是一个正整数。于是,对所有的x和y,

用求和记号写出,即:

二项式定理还有几种等价形式:

定理二: 令n是一个正整数。则对所有的x,有

一些恒等式


  1. 或者可以写成

二项式系数的单峰性

令n是正整数,二项式序列是单峰序列。更精确地说 :

  1. n为偶数时,

    1. n为奇数时,
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