第四、五次作业

作业题目分析

第一章的练习题，皆为数值求解常微分方程。因此我写了一个通用的求显式常微分方程数值解的程序。

程序说明

程序在这里。

1. 解常微分方程

首先需要手动输入常微分方程。譬如对方程 $f'=-x*y$，写入

def deriv(x, y):
    return -x * y

然后使用求解函数 f(), 输入方程deriv，初始值init = (x0, y0)，末值x1；可以选择输入函数值的区间y_range，每两点间的迭代数step，点的数目point，如果不输入则取默认值。例如：

f(deriv)

or

f(deriv, init = (0, 0), x1 = 10, y_range = (-100, 100), step = 1, point = 1000)

函数的返回值为从x = init[0]到x = x1的一组点，点的数目为point+1，点的格式为list, 每个item形式为[x, y, deriv(x, y)]。可以写f(deriv)[-1]即得到末态点[x1, y1, deriv(x1, y1)]。

2. 绘制图像

给定函数deriv，初始值，末值，可以直接绘制图像。

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(*trans(f(deriv, init = (-3, 0.01), x1 = 3)))
plt.show()

要想绘制函数在一定范围内的多条图像（类似stream plot），可使用draw_1和draw_2函数。

import matplotlib.pyplot as plt
draw_1(deriv, x_range = (-3, 3), y_range = (-3, 3), density = 8)
draw_2(deriv, x_range = (-3, 3), y_range = (-3, 3), density = 16)
plt.show()

两种函数绘图风格各有不同，请自行研究啦^_^

实例

1. 求解常微分方程

• 对于方程$dv/dt = 10 - v$，初始值 (v, t) = (0, 0)，求 t = 2 时 v 的值。

def deriv(t, v):
    return 10 - v
print f(deriv, (0, 0), 2)[-1]

得到 t = 2 时 v = 8.646645360453359。

2. 绘出图像

• 绘出方程$dv/dt = 10 - v$ 的解的图像，初始值为 (v, t) = (0, 0)。

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(*trans(f(deriv, init = (0, 0), x1 = 6)))
plt.show()

3. 更多绘图

• $dv/dt = 10 - v$ 的图像
  

• $dy / dx = -0.5y + x - 0.1y^2$ 的图像

• $dy/dx = log(y)$ 的图像