第十三次作业

作者：敬雷

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1

待解方程是给定边界条件的方程

$$\Delta V = 0$$
二维时就是
$$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) V = 0$$
这在离散空间等价于
$$V(i,j) = \frac{1}{4} \left( V(i-1,j) + V(i+1,j) + V(i,j-1) + V(i,j+1) \right)$$

数值计算的原理是，模拟方程

$$\frac{\partial V}{\partial t} = D \Delta V$$
所描述的扩散过程，当达到平衡态时就有 $\Delta V = 0$。

2

要求用 Jacobi 法解上图所示边界条件，结果如下：

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3

分别用 Jacobi 和 SOR 方法计算边长与迭代数的关系：

看起来好像 Jacobi 法大获全胜。很奇怪 Jacobi 法对于大多数边长值收敛地不是一般的快。比如边长取 N = 54 时

迭代数	$\Delta V$
0	0.0
10	0.0
20	0.0
30	1.2672154992e-15
40	6.81483063835e-16
50	5.27983186618e-16
60	2.97263180395e-16
70	-3.58484327962e-16
80	6.43872094855e-18
90	6.06930446927e-16
100	3.16015287126e-16

虽然$\Delta V$很小，可看看迭代 10 次时的势能图像（下图），看起来并不理想。

我问了郭潇，他想出来一个办法，初始化势场 $V$ 时取随机数，这样就不存在这个问题了。真是天才的想法！

这样计算得到边长与迭代数的关系：

可以看出，Jacobi 方法的迭代数与边长的平方近似成正比，SOR 方法的迭代数与边长近似成正比，且迭代数远比 Jacobi 法来的小。

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完了