第七次作业

作者：敬雷

L1

2.19题

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代码在这里。

空气阻力为：

$$\mathbf{F}_{drag} = - \left(1 - \frac{ay}{T_{0}}\right)^\alpha B_{2} v\mathbf{v} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\mathrm{eq. 2.25})$$

$$\frac{B_2}{m} = 0.0039 + \frac{0.0058}{1 + exp\left[\left(v - v_d\right) / \Delta\right]} \,\,\,\,\,\,\,\,\,(\mathrm{eq. 2.26})$$
其中各参数为$\alpha = 2.5$，$a = 6.5 \times 10^{-3} K/m$，$T_{0} = 300K$，$v_d = 35 m/s$, $\Delta = 5 m/s$。

$Magnus$ $force$ 为：

$$\mathbf{F_{M}} = -S_{0} \mathbf{v} \times \mathbf{\omega} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\mathrm{eq. 2.29})$$
对棒球的速度范围（50 - 110$mph$），$S_{0}/m \approx 4.1 \times 10^{-4}$。

注意：以上所有公式中的 $v$，$\mathbf{v}$ 均表示球的速度而非风相对于球的速度，并且假定空气静止。

程序的伪代码为：

def update(dt):
    pos += vel * dt
    vel += (F_drag / m  + F_M / m + gravity) * dt
dt = 1 #s
for i in range(1000):
    update(dt) # +1s

其中pos和vel等用numpy中的array表示，好处是各种矢量运算很方便。

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取棒球出射速度为$(0,40,30)$；自转角速度应该与出射方向垂直，取为$(0, -3/5\omega,4/5\omega)$；出射位置$(0,0,0)$。对$\omega$分别为0，2000，4000$rpm$ 作计算得到轨迹，作出轨迹图和在坐标面的投影如下：

可以看出，球偏转得相当厉害。

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如果取自转角速度为$(\pm\omega, 0, 0)$，其他条件不变，那么得到轨迹图如下：

可以看出，球没有往侧面偏转，而是飞得更高或更矮了。

L2

使用vpython可视化炮弹发射或者棒球运动

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并没有录制动态图的条件，那就放代码好了。
示例代码如下：（其中Cannon就是本文开头所放的那个代码）

import Cannon
import visual as vp
import math
ground = vp.box(pos = (0,0,0), size = (60, 140, 1), color = (.2,.3,.2))
init_vel = [0,40,30]
omega = 2000 / 60.0 * 2 * math.pi
saki = Cannon.Cannon(init_vel, Cannon.force, pos = (0, -70, 0), spin = [0, -omega*3/5, omega*4/5])
saki_ball = vp.sphere(pos = saki.get_pos(), radius = 0.5, color = vp.color.cyan)
saki_ball.trail = vp.curve(color=saki_ball.color) 
vscale = 0.115
varr = vp.arrow(pos=saki_ball.pos, axis=vscale * saki.get_vel(), color=vp.color.yellow) 
delta_t = 0.01
t = 0 
while t < 20:
    vp.rate(100) # This specifies that the while loop will not be executed more than 100 times per second
    saki.update(delta_t)
    if saki.get_pos()[2] < 0:   break
    saki_ball.pos = saki.get_pos()
    t += delta_t
    varr.axis = vscale * saki.get_vel()
    varr.pos = saki_ball.pos
    saki_ball.trail.append(po： saki_ball.pos)

效果如下：

嘛，勉勉强强。

致谢

• 本文绘图部分参考了陈洋遥同学的代码，作出的图确实很精美，感谢！

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完